微积分学示例

$f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.4.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

解题步骤 1.4.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16 x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (16 x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [16 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16 x$ 对 $x$ 的导数是 $16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 16 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.3.3

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 16 + \frac{d}{d x} (- 15)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 16 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 6 x + 16$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 x + 16$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [8 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.3.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} + 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} + 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x + \frac{d}{d x} [- 15 x]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 15 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 \cdot 1$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 15$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 16 x - 15$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 16 x - 15$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 16 x - 15 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = - 3$ 、 $b = 16$ 和 $c = - 15$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 16 \pm \sqrt{16^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 15)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $256$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.4.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $256$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 3 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 15$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 + 12 \cdot - 15}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 15$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{256 - 180}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $256$ 中减去 $180$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 16 \pm 2 \sqrt{19}}{- 6}$ 。

$x = \frac{8 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}, \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{8 + \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$- 2 (8 + \sqrt{19}) + 16$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 8 - 2 \sqrt{19} + 16$

解题步骤 9.1.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$- 16 - 2 \sqrt{19} + 16$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.2.1

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0 - 2 \sqrt{19}$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{19}$ 。

$- 2 \sqrt{19}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 + \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.4.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.4

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.4.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.5.5

计算指数。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.6

将 $24$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.7

将 ${\sqrt{19}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{19^{3}}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.8

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.9

将 $6859$ 重写为 $19^{2} \cdot 19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.4.9.1

从 $6859$ 中分解出因数 $361$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.9.2

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.4.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 \sqrt{19} + 456 + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.5

将 $512$ 和 $456$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 192 \sqrt{19} + 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.6

将 $192 \sqrt{19}$ 和 $19 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 + \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.7

对 $\frac{8 + \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 + \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.9

将 ${(8 + \sqrt{19})}^{2}$ 重写为 $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(8 + \sqrt{19}) (8 + \sqrt{19})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.10.1

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.10.2

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} (8 + \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.10.3

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.11.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.11.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 8 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.1.2

将 $8$ 移到 $\sqrt{19}$ 的左侧。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.1.4

将 $19$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.1.5

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.2

将 $64$ 和 $19$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 8 \sqrt{19} + 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.11.3

将 $8 \sqrt{19}$ 和 $8 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.12

组合 $8$ 和 $\frac{83 + 16 \sqrt{19}}{9}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 11.2.1.13

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.13.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

解题步骤 11.2.1.13.2

约去公因数。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 + \sqrt{19}}{3})$

解题步骤 11.2.1.13.3

重写表达式。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 + \sqrt{19})$

解题步骤 11.2.1.14

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.1.15

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.2

要将 $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{8 (83 + 16 \sqrt{19})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 + 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 + 211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $968$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (211 \sqrt{19}) + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.3

将 $211$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 8 (83 + 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.5

将 $8$ 乘以 $83$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.6

将 $16$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + (664 + 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.7

运用分配律。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.8

将 $664$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.9

将 $3$ 乘以 $128$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - 211 \sqrt{19} + 1992 + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.10

将 $- 968$ 和 $1992$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 211 \sqrt{19} + 384 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.5.11

将 $- 211 \sqrt{19}$ 和 $384 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.6

要将 $- 40$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.7

组合 $- 40$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.8.2

将 $- 40$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 173 \sqrt{19} - 1080}{27} - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.8.3

从 $1024$ 中减去 $1080$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19}$

解题步骤 11.2.9

要将 $- 5 \sqrt{19}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} - 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 11.2.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.10.1

组合 $- 5 \sqrt{19}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

解题步骤 11.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

解题步骤 11.2.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.11.1

将 $27$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 173 \sqrt{19} - 135 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 11.2.11.2

从 $173 \sqrt{19}$ 中减去 $135 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 11.2.12

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.12.1

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 11.2.12.2

从 $38 \sqrt{19}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (- 38 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 11.2.12.3

从 $- 1 (56) - (- 38 \sqrt{19})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 - 38 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 11.2.12.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8 + \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 11.2.13

最终答案为 $- \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$ 。

$y = - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 13.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{8 - \sqrt{19}}{3} + 16$

解题步骤 13.1.1.3

重写表达式。

$- 2 (8 - \sqrt{19}) + 16$

解题步骤 13.1.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 8 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

解题步骤 13.1.3

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$- 16 - 2 (- \sqrt{19}) + 16$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 16 + 2 \sqrt{19} + 16$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.2.1

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0 + 2 \sqrt{19}$

解题步骤 13.2.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{19}$ 相加。

$2 \sqrt{19}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{3} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{{(8 - \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{8^{3} + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.4.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (8^{2} (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 3 \cdot (64 (- \sqrt{19})) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 + 192 (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $192$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 3 \cdot (8 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.5

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.6

对 $- \sqrt{19}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.4.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.4.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.9.5

计算指数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 24 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.10

将 $24$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.11

对 $- \sqrt{19}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 ${\sqrt{19}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{19^{3}}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{3}}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.14

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{6859}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.15

将 $6859$ 重写为 $19^{2} \cdot 19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.4.15.1

从 $6859$ 中分解出因数 $361$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{361 (19)}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.15.2

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - (19 \sqrt{19})}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.4.17

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{512 - 192 \sqrt{19} + 456 - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.5

将 $512$ 和 $456$ 相加。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 192 \sqrt{19} - 19 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.6

从 $- 192 \sqrt{19}$ 中减去 $19 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 {(\frac{8 - \sqrt{19}}{3})}^{2} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.7

对 $\frac{8 - \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{{(8 - \sqrt{19})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.9

将 ${(8 - \sqrt{19})}^{2}$ 重写为 $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.10

使用 FOIL 方法展开 $(8 - \sqrt{19}) (8 - \sqrt{19})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.10.1

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 (8 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.10.2

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (8 - \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.10.3

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{8 \cdot 8 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.11.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.11.1.1

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 + 8 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.2

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 8 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.3

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4

乘以 $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.11.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4.2

将 $\sqrt{19}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4.3

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4.4

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.11.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.11.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{64 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19} + 19}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.2

将 $64$ 和 $19$ 相加。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 8 \sqrt{19} - 8 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.11.3

从 $- 8 \sqrt{19}$ 中减去 $8 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + 8 (\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}) - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.12

组合 $8$ 和 $\frac{83 - 16 \sqrt{19}}{9}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 15 \frac{8 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 15.2.1.13

约去 $3$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.13.1

从 $- 15$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 (- 5) (\frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

解题步骤 15.2.1.13.2

约去公因数。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (- 5 \frac{8 - \sqrt{19}}{3})$

解题步骤 15.2.1.13.3

重写表达式。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 (8 - \sqrt{19})$

解题步骤 15.2.1.14

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 5 \cdot 8 - 5 (- \sqrt{19})$

解题步骤 15.2.1.15

将 $- 5$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 - 5 (- \sqrt{19})$

解题步骤 15.2.1.16

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.2

要将 $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.3.1

将 $\frac{8 (83 - 16 \sqrt{19})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{968 - 211 \sqrt{19}}{27} + \frac{8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (968 - 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 1$ 乘以 $968$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 - (- 211 \sqrt{19}) + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 211$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 8 (83 - 16 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (8 \cdot 83 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.5

将 $8$ 乘以 $83$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 + 8 (- 16 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.6

将 $- 16$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + (664 - 128 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.7

运用分配律。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 664 \cdot 3 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.8

将 $664$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 128 \sqrt{19} \cdot 3}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.9

将 $3$ 乘以 $- 128$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 968 + 211 \sqrt{19} + 1992 - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.10

将 $- 968$ 和 $1992$ 相加。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 + 211 \sqrt{19} - 384 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.5.11

从 $211 \sqrt{19}$ 中减去 $384 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.6

要将 $- 40$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} - 40 \cdot \frac{27}{27} + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.7

组合 $- 40$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.8

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 40 \cdot 27}{27} + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.8.2

将 $- 40$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1024 - 173 \sqrt{19} - 1080}{27} + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.8.3

从 $1024$ 中减去 $1080$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19}$

解题步骤 15.2.9

要将 $5 \sqrt{19}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + 5 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 15.2.10

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.10.1

组合 $5 \sqrt{19}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19}}{27} + \frac{5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 5 \sqrt{19} \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.11

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.11.1

将 $27$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 173 \sqrt{19} + 135 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.11.2

将 $- 173 \sqrt{19}$ 和 $135 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.12

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.12.1

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.12.2

从 $- 38 \sqrt{19}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 56 - (38 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 15.2.12.3

从 $- 1 (56) - (38 \sqrt{19})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (56 + 38 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 15.2.12.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.13

最终答案为 $- \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$ 。

$y = - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = - x^{3} + 8 x^{2} - 15 x$ 的局部极值。

$(\frac{8 + \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 - 38 \sqrt{19}}{27})$ 是一个局部最大值

$(\frac{8 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{56 + 38 \sqrt{19}}{27})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例