微积分学示例

$f (x) = 2 x - \frac{5}{x}$ on $5$ , $7$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $2 x - \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{5}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 - 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 - 5 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.1.3.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$2 + 5 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 + 5 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 + \frac{5}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{5}{x^{2}} + 2$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{5}{x^{2}} + 2$ 。

$\frac{5}{x^{2}} + 2$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{5}{x^{2}} + 2 = 0$

解题步骤 1.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$\frac{5}{x^{2}} = - 2$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{2}, 1$

解题步骤 1.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{5}{x^{2}} = - 2$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5}{x^{2}} x^{2} = - 2 x^{2}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

重写表达式。

$5 = - 2 x^{2}$

解题步骤 1.2.5

求解方程。

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解题步骤 1.2.5.1

将方程重写为 $- 2 x^{2} = 5$ 。

$- 2 x^{2} = 5$

解题步骤 1.2.5.2

将 $- 2 x^{2} = 5$ 中的每一项除以 $- 2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.5.2.1

将 $- 2 x^{2} = 5$ 中的每一项都除以 $- 2$ 。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

解题步骤 1.2.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{5}{- 2}$

解题步骤 1.2.5.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{5}{- 2}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x^{2} = - \frac{5}{2}$

解题步骤 1.2.5.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$

解题步骤 1.2.5.4

化简 $\pm \sqrt{- \frac{5}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.1

将 $- 1$ 重写为 $i^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{5}{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.2

从根式下提出各项。

$x = \pm i \sqrt{\frac{5}{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.3

将 $\sqrt{\frac{5}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.4

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

解题步骤 1.2.5.4.5

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.5.4.5.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.2.5.4.5.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.4.5.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.2.5.4.5.6.5

计算指数。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.4.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.4.6.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm i \frac{\sqrt{5 \cdot 2}}{2}$

解题步骤 1.2.5.4.6.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$x = \pm i \frac{\sqrt{10}}{2}$

解题步骤 1.2.5.4.7

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ 。

$x = \pm \frac{i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 1.2.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 1.2.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 1.2.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{i \sqrt{10}}{2}, - \frac{i \sqrt{10}}{2}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{5}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 x - \frac{5}{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$2 (0) - \frac{5}{0}$

解题步骤 1.4.1.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$2 (5) - \frac{5}{5}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10 - \frac{5}{5}$

解题步骤 2.1.2.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.2.1

约去公因数。

$10 - \frac{5}{5}$

解题步骤 2.1.2.1.2.2

重写表达式。

$10 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$10 - 1$

解题步骤 2.1.2.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$9$

解题步骤 2.2

在 $x = 7$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $7$ 替换 $x$ 。

$2 (7) - \frac{5}{7}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 - \frac{5}{7}$

解题步骤 2.2.2.2

要将 $14$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{7}{7}$ 。

$14 \cdot \frac{7}{7} - \frac{5}{7}$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $14$ 和 $\frac{7}{7}$ 。

$\frac{14 \cdot 7}{7} - \frac{5}{7}$

解题步骤 2.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{14 \cdot 7 - 5}{7}$

解题步骤 2.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.5.1

将 $14$ 乘以 $7$ 。

$\frac{98 - 5}{7}$

解题步骤 2.2.2.5.2

从 $98$ 中减去 $5$ 。

$\frac{93}{7}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(5, 9), (7, \frac{93}{7})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(7, \frac{93}{7})$

最小绝对值： $(5, 9)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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