微积分学示例

$f (x) = - \frac{1}{x}$ , $- 2 \leq x \leq - 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x}$ 。

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

乘。

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解题步骤 1.1.1.2.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.3.2

将 $x^{- 2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 1.1.1.2.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

解题步骤 1.1.1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.5.1

将 $\frac{1}{x}$ 乘以 $0$ 。

$x^{- 2} + 0$

解题步骤 1.1.1.2.5.2

将 $x^{- 2}$ 和 $0$ 相加。

$x^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $- \frac{1}{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$- \frac{1}{0}$

解题步骤 1.4.1.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$- \frac{1}{- 2}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{1}{2}$

解题步骤 2.1.2.2

乘以 $- - \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{1}{2})$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{2}$

解题步骤 2.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$- \frac{1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$- - 1$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, \frac{1}{2}), (- 1, 1)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 1, 1)$

最小绝对值： $(- 2, \frac{1}{2})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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