微积分学示例

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则，

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4

计算

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为

$- 12$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 12 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4.3

将

$- 12$ 乘以

$1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

解题步骤 1.5.2

将

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 和

$0$ 相加。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2.3

将

$2$ 乘以

$6$ 。

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [6 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$6 x$ 对

$x$ 的导数是

$6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.3.3

将

$6$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为

$- 12$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 12$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f'' (x) = 12 x + 6 + 0$

解题步骤 2.4.2

将

$12 x + 6$ 和

$0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x + 6$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则，

$2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.2.3

将

$3$ 乘以

$2$ 。

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.3

计算

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.3.3

将

$2$ 乘以

$3$ 。

$6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.4

计算

$\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为

$- 12$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 12 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.4.3

将

$- 12$ 乘以

$1$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为

$5$ 对于

$x$ 是常数，所以

$5$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$6 x^{2} + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.2.1

从

$6 x^{2} + 6 x - 12$ 中分解出因数

$6$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从

$6 x^{2}$ 中分解出因数

$6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x - 12 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从

$6 x$ 中分解出因数

$6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 12 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从

$- 12$ 中分解出因数

$6$ 。

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.4

从

$6 (x^{2}) + 6 x$ 中分解出因数

$6$ 。

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.2.1.5

从

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 2$ 中分解出因数

$6$ 。

$6 (x^{2} + x - 2) = 0$

解题步骤 5.2.2

因数。

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解题步骤 5.2.2.1

使用 AC 法来对

$x^{2} + x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.2.2.1.1

思考一下

$x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为

$c$ ，且和为

$b$ 。在本例中，其积即为

$- 2$ ，和为

$1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 5.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$6 ((x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 5.2.2.2

去掉多余的括号。

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.5

将

$x + 2$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将

$x + 2$ 设为等于

$0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去

$2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.6

最终解为使

$6 (x - 1) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1, - 2$

解题步骤 8

计算在

$x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (1) + 6$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将

$12$ 乘以

$1$ 。

$12 + 6$

解题步骤 9.2

将

$12$ 和

$6$ 相加。

$18$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求

$x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = 2 {(1)}^{3} + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 2 \cdot 1 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 5$

解题步骤 11.2.1.2

将

$2$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 2 + 3 {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 5$

解题步骤 11.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 2 + 3 \cdot 1 - 12 \cdot 1 + 5$

解题步骤 11.2.1.4

将

$3$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 2 + 3 - 12 \cdot 1 + 5$

解题步骤 11.2.1.5

将

$- 12$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 2 + 3 - 12 + 5$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

将

$2$ 和

$3$ 相加。

$f (1) = 5 - 12 + 5$

解题步骤 11.2.2.2

从

$5$ 中减去

$12$ 。

$f (1) = - 7 + 5$

解题步骤 11.2.2.3

将

$- 7$ 和

$5$ 相加。

$f (1) = - 2$

解题步骤 11.2.3

最终答案为

$- 2$ 。

$y = - 2$

解题步骤 12

计算在

$x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 (- 2) + 6$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将

$12$ 乘以

$- 2$ 。

$- 24 + 6$

解题步骤 13.2

将

$- 24$ 和

$6$ 相加。

$- 18$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 15

求

$x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的

$- 2$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 2) = 2 {(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对

$- 2$ 进行

$3$ 次方运算。

$f (- 2) = 2 \cdot - 8 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.2

将

$2$ 乘以

$- 8$ 。

$f (- 2) = - 16 + 3 {(- 2)}^{2} - 12 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.3

对

$- 2$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 2) = - 16 + 3 \cdot 4 - 12 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.4

将

$3$ 乘以

$4$ 。

$f (- 2) = - 16 + 12 - 12 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.5

将

$- 12$ 乘以

$- 2$ 。

$f (- 2) = - 16 + 12 + 24 + 5$

解题步骤 15.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将

$- 16$ 和

$12$ 相加。

$f (- 2) = - 4 + 24 + 5$

解题步骤 15.2.2.2

将

$- 4$ 和

$24$ 相加。

$f (- 2) = 20 + 5$

解题步骤 15.2.2.3

将

$20$ 和

$5$ 相加。

$f (- 2) = 25$

解题步骤 15.2.3

最终答案为

$25$ 。

$y = 25$

解题步骤 16

这些是

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 12 x + 5$ 的局部极值。

$(1, - 2)$ 是一个局部最小值

$(- 2, 25)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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