微积分学示例

$y = 4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ ; $[- 10, 10]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [4 \sqrt[3]{x - 1}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且 $g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x - 1$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.3.3

使用 $x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.4

根据加法法则， $x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.9

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.10.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0)) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.12

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$4 (\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.13

组合 $\frac{1}{3}$ 和 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$4 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.14

将 $\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.15

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$4 \frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.2.16

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 3]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{4}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$4 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $4 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{4}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ 重写成 ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

对 $3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3

将 ${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

将 $27 {(x - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.2

用 ${(x - 1)}^{2}$ 除以 $1$ 。

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.3.3.3.3

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 \sqrt[3]{x - 1} - 3$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$4 \sqrt[3]{(1) - 1} - 3$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$4 \sqrt[3]{0} - 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$4 \sqrt[3]{0^{3}} - 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$4 \cdot 0 - 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - 3$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $3$ 。

$- 3$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(1, - 3)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 10$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 10$ 替换 $x$ 。

$4 \sqrt[3]{(- 10) - 1} - 3$

解题步骤 2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- 10$ 中减去 $1$ 。

$4 \sqrt[3]{- 11} - 3$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 11$ 重写为 ${(- 1)}^{3} \cdot 11$ 。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 11$ 重写为 $- 1 (11)$ 。

$4 \sqrt[3]{- 1 (11)} - 3$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $- 1$ 重写为 ${(- 1)}^{3}$ 。

$4 \sqrt[3]{{(- 1)}^{3} \cdot 11} - 3$

解题步骤 2.1.2.3

从根式下提出各项。

$4 (- 1 \sqrt[3]{11}) - 3$

解题步骤 2.1.2.4

将 $- 1 \sqrt[3]{11}$ 重写为 $- \sqrt[3]{11}$ 。

$4 (- \sqrt[3]{11}) - 3$

解题步骤 2.1.2.5

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 \sqrt[3]{11} - 3$

解题步骤 2.2

在 $x = 10$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $10$ 替换 $x$ 。

$4 \sqrt[3]{(10) - 1} - 3$

解题步骤 2.2.2

从 $10$ 中减去 $1$ 。

$4 \sqrt[3]{9} - 3$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3), (10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(10, 4 \sqrt[3]{9} - 3)$

最小绝对值： $(- 10, - 4 \sqrt[3]{11} - 3)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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