微积分学示例

$f (x) = x e^{\frac{x}{2}}$ , $[- 3, 1]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ 。

$x \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$x (\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

组合 $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} \cdot 1 + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.4

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

将 $e^{\frac{x}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

将 $\frac{e^{\frac{x}{2}} x}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ 中分解出因数 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2}$ 中分解出因数 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2.2

乘以 $1$ 。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2}) + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $e^{\frac{x}{2}} \frac{x}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1$ 中分解出因数 $e^{\frac{x}{2}}$ 。

$e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $e^{\frac{x}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $e^{\frac{x}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{\frac{x}{2}} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{\frac{x}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{\frac{x}{2}}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.4.2.3

$e^{\frac{x}{2}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.2.5

将 $\frac{x}{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\frac{x}{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{2} + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $\frac{x}{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\frac{x}{2} = - 1$

解题步骤 1.2.5.2.2

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.5.2.3.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \cdot - 1$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.2.3.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $e^{\frac{x}{2}} (\frac{x}{2} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x e^{\frac{x}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$(- 2) \cdot e^{\frac{- 2}{2}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

用 $- 2$ 除以 $2$ 。

$- 2 \cdot e^{- 1}$

解题步骤 1.4.1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 2 \cdot \frac{1}{e}$

解题步骤 1.4.1.2.3

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{e}$ 。

$\frac{- 2}{e}$

解题步骤 1.4.1.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{e}$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(- 2, - \frac{2}{e})$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$(- 3) \cdot e^{\frac{- 3}{2}}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将负号移到分数的前面。

$- 3 \cdot e^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.1.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 3 \cdot \frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.3

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{e^{\frac{3}{2}}}$ 。

$\frac{- 3}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.1.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$(1) \cdot e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.2.2

将 $e^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 3, - \frac{3}{e^{\frac{3}{2}}}), (1, e^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, e^{\frac{1}{2}})$

最小绝对值： $(- 2, - \frac{2}{e})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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