微积分学示例

f (x) = x^{4} - x^{2} + x

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

x^{4} - x^{2} + x

$x^{4} - x^{2} + x$ 对

x

$x$ 的导数是

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 4

$n = 4$ 。

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2

计算

\frac{d}{d x} [- x^{2}]

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为

- 1

$- 1$ 对于

x

$x$ 是常数，所以

- x^{2}

$- x^{2}$ 对

x

$x$ 的导数是

- \frac{d}{d x} [x^{2}]

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

\frac{d}{d x} [x^{n}]

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

n x^{n - 1}

$n x^{n - 1}$ ，其中

n = 2

$n = 2$ 。

4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$4 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则，

$4 x^{3} - 2 x + 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.2.3

将

$3$ 乘以

$4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.3.3

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + \frac{d}{d x} (1)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为

$1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2 + 0$

解题步骤 2.4.2

将

$12 x^{2} - 2$ 和

$0$ 相加。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 2$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则，

$x^{4} - x^{2} + x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$4 x^{3} - (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 1$ 。

$4 x^{3} - 2 x + \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$4 x^{3} - 2 x + 1$ 。

$4 x^{3} - 2 x + 1$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$4 x^{3} - 2 x + 1 = 0$

解题步骤 5.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

$x \approx - 0.88464617$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 0.88464617$

解题步骤 8

计算在

$x = - 0.88464617$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 0.88464617)}^{2} - 2$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对

$- 0.88464617$ 进行

$2$ 次方运算。

$12 \cdot 0.78259885 - 2$

解题步骤 9.1.2

将

$12$ 乘以

$0.78259885$ 。

$9.3911863 - 2$

解题步骤 9.2

从

$9.3911863$ 中减去

$2$ 。

$7.3911863$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = - 0.88464617$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 0.88464617$ 是一个极小值

解题步骤 11

求

$x = - 0.88464617$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的

$- 0.88464617$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

去掉圆括号。

$f (- 0.88464617) = {(- 0.88464617)}^{4} - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

解题步骤 11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1

对

$- 0.88464617$ 进行

$4$ 次方运算。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - {(- 0.88464617)}^{2} - 0.88464617$

解题步骤 11.2.2.2

对

$- 0.88464617$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 1 \cdot 0.78259885 - 0.88464617$

解题步骤 11.2.2.3

将

$- 1$ 乘以

$0.78259885$ 。

$f (- 0.88464617) = 0.61246097 - 0.78259885 - 0.88464617$

解题步骤 11.2.3

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 11.2.3.1

从

$0.61246097$ 中减去

$0.78259885$ 。

$f (- 0.88464617) = - 0.17013788 - 0.88464617$

解题步骤 11.2.3.2

从

$- 0.17013788$ 中减去

$0.88464617$ 。

$f (- 0.88464617) = - 1.05478406$

解题步骤 11.2.4

最终答案为

$- 1.05478406$ 。

$y = - 1.05478406$

解题步骤 12

这些是

$f (x) = x^{4} - x^{2} + x$ 的局部极值。

$(- 0.88464617, - 1.05478406)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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