微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x + 5}{3}$ , $[0, 5]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x + 5}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [2 x + 5]$

解题步骤 1.1.1.2

根据加法法则， $2 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.1.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.1.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.1.5

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{3} (2 + \frac{d}{d x} [5])$

解题步骤 1.1.1.6

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{3} (2 + 0)$

解题步骤 1.1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{3} \cdot 2$

解题步骤 1.1.1.7.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (0) + 5}{3}$

解题步骤 2.1.2

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0 + 5}{3}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$\frac{5}{3}$

解题步骤 2.2

在 $x = 5$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $5$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 (5) + 5}{3}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$\frac{10 + 5}{3}$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $10$ 和 $5$ 相加。

$\frac{15}{3}$

解题步骤 2.2.2.2

用 $15$ 除以 $3$ 。

$5$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, \frac{5}{3}), (5, 5)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(5, 5)$

最小绝对值： $(0, \frac{5}{3})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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