微积分学示例

f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3

$f (x) = 2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ ;

$[- 7, 9]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则，

$2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 \sqrt[3]{x - 1}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt[3]{x - 1}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{x - 1}$ 重写成

${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.2

因为

$2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$2 {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ 对

$x$ 的导数是

$2 \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x - 1)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于

$f' (g (x)) g' (x)$ ，其中

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 且

$g (x) = x - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.3.1

要使用链式法则，请将

$u$ 设为

$x - 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于

$n u^{n - 1}$ ，其中

$n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.3.3

使用

$x - 1$ 替换所有出现的

$u$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x - 1)) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.4

根据加法法则，

$x - 1$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为

$- 1$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 1$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.7

要将

$- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以

$\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.8

组合

$- 1$ 和

$\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.9

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.10.1

将

$- 1$ 乘以

$3$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.10.2

从

$1$ 中减去

$3$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.11

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot ({(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.12

将

$1$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3} \cdot {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.13

组合

$\frac{1}{3}$ 和

${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.14

将

$\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 乘以

$1$ 。

$f' (x) = 2 (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.15

使用负指数规则

$b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将

${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 2 (\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.2.16

组合

$2$ 和

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为

$3$ 对于

$x$ 是常数，所以

$3$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$\frac{2}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为

$2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

应用法则

$x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}}$ 的分母设为等于

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将

$\sqrt[3]{{(x - 1)}^{2}}$ 重写成

${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简

${(3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

对

$3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

对

$3$ 进行

$3$ 次方运算。

$27 {({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3

将

${({(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘，

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2

约去

$3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项除以

$27$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

将

$27 {(x - 1)}^{2} = 0$ 中的每一项都除以

$27$ 。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1

约去

$27$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 {(x - 1)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.2

用

${(x - 1)}^{2}$ 除以

$1$ 。

${(x - 1)}^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.3.1

用

$0$ 除以

$27$ 。

${(x - 1)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.3.3.3.3

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.4

对每个导数为

$0$ 或无意义的

$x$ 值，计算

$2 \sqrt[3]{x - 1} + 3$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

$x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

$1$ 替换

$x$ 。

$2 \sqrt[3]{(1) - 1} + 3$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

从

$1$ 中减去

$1$ 。

$2 \sqrt[3]{0} + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将

$0$ 重写为

$0^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{0^{3}} + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2 \cdot 0 + 3$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将

$2$ 乘以

$0$ 。

$0 + 3$

解题步骤 1.4.1.2.2

将

$0$ 和

$3$ 相加。

$3$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(1, 3)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在

$x = - 7$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入

$- 7$ 替换

$x$ 。

$2 \sqrt[3]{(- 7) - 1} + 3$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从

$- 7$ 中减去

$1$ 。

$2 \sqrt[3]{- 8} + 3$

解题步骤 2.1.2.1.2

将

$- 8$ 重写为

${(- 2)}^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}} + 3$

解题步骤 2.1.2.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2 \cdot - 2 + 3$

解题步骤 2.1.2.1.4

将

$2$ 乘以

$- 2$ 。

$- 4 + 3$

解题步骤 2.1.2.2

将

$- 4$ 和

$3$ 相加。

$- 1$

解题步骤 2.2

在

$x = 9$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入

$9$ 替换

$x$ 。

$2 \sqrt[3]{(9) - 1} + 3$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从

$9$ 中减去

$1$ 。

$2 \sqrt[3]{8} + 3$

解题步骤 2.2.2.1.2

将

$8$ 重写为

$2^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{2^{3}} + 3$

解题步骤 2.2.2.1.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2 \cdot 2 + 3$

解题步骤 2.2.2.1.4

将

$2$ 乘以

$2$ 。

$4 + 3$

解题步骤 2.2.2.2

将

$4$ 和

$3$ 相加。

$7$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 7, - 1), (9, 7)$

解题步骤 3

将每个

$x$ 的值对应所得的

$f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

$f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

$f (x)$ 时产生。

最大绝对值：

$(9, 7)$

最小绝对值：

$(- 7, - 1)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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