微积分学示例

$f (x) = | x + 1 |$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

解题步骤 1.2.4.2

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x + 1$ 且 $g (x) = | x + 1 |$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \frac{d}{d x} (x + 1) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + \frac{d}{d x} (1)) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $| x + 1 |$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{d}{d x} | x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{d}{d u} (| u |) \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{u}{| u |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot \frac{d}{d x} (x + 1))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (1)))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot (1 + 0))}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1)}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.4.4.2

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - (x + 1) \frac{x + 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1 \cdot 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + (- x - 1) (\frac{x + 1}{| x + 1 |})}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $- x - 1$ 乘以 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- x - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.2

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{(- (x) - 1 \cdot 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.3

从 $- (x) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.4

将 $- (x + 1)$ 重写为 $- 1 (x + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 (x + 1) (x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.5

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.6

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{1 + 1}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | + \frac{- 1 {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{| x + 1 | - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.2

要将 $| x + 1 |$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{| x + 1 |}{| x + 1 |}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 |}{| x + 1 |} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x + 1 | | x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1

乘以 $| x + 1 | | x + 1 |$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

要将绝对值相乘，请将每个绝对值内的项相乘。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

对 $x + 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{1 + 1} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{| {(x + 1)}^{2} | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| (x + 1) (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x (x + 1) + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.2.4.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.4.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.4.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.4.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + x + x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.4.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - {(x + 1)}^{2}}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.5

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - ((x + 1) (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.6

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x (x + 1) + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.2.4.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.4.7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.7.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.7.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.7.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + x + x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.7.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - (x^{2} + 2 x + 1)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.8

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.9

化简。

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解题步骤 2.5.2.4.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.9.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{| x^{2} + 2 x + 1 | - x^{2} - 2 x - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.10

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11

以因式分解的形式重写 $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 | - 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.11.1

重新组合项。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.2

从 $- x^{2} - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.11.2.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - 2 x + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.2.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) + | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.2.3

从 $| x^{2} + 2 x + 1 |$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2}) - (2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.2.4

从 $- (x^{2}) - (2 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.2.5

从 $- (x^{2} + 2 x) - 1 (- | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.3

从 $- 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.11.3.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 \cdot 1 - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.3.2

从 $- 1 (1) - (x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.3.3

将 $- 1 (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 重写为 $- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (1 + x^{2} + 2 x - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.4.11.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{\frac{- (x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |)}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.2.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

合并项。

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解题步骤 2.5.3.1

将 $\frac{- \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}}{{| x + 1 |}^{2}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |} \cdot \frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $\frac{1}{{| x + 1 |}^{2}}$ 乘以 $\frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{| x + 1 |}$ 。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

解题步骤 2.5.3.3

通过指数相加将 ${| x + 1 |}^{2}$ 乘以 $| x + 1 |$ 。

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解题步骤 2.5.3.3.1

将 ${| x + 1 |}^{2}$ 乘以 $| x + 1 |$ 。

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解题步骤 2.5.3.3.1.1

对 $| x + 1 |$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2} | x + 1 |}$

解题步骤 2.5.3.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{2 + 1}}$

解题步骤 2.5.3.3.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{x^{2} + 2 x + 1 - | x^{2} + 2 x + 1 |}{{| x + 1 |}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = | x |$ 且 $g (x) = x + 1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.1.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \frac{d}{d x} [x + 1]$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} (1 + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{x + 1}{| x + 1 |}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.4

排除不能使 $\frac{x + 1}{| x + 1 |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x + 1 | = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x + 1 = \pm 0$

解题步骤 6.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 6.2.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 1$

解题步骤 8

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| (- 1) + 1 |}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{{| 0 |}^{3}}$

解题步骤 9.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0^{3}}$

解题步骤 9.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 - | {(- 1)}^{2} + 2 (- 1) + 1 |}{0}$

解题步骤 9.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = \frac{(- 4) + 1}{| (- 4) + 1 |}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 4 + 1 |}$

解题步骤 10.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.2.2.2.1

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{| - 3 |}$

解题步骤 10.2.2.2.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 3$ 和 $0$ 之间的距离为 $3$ 。

$f' (- 4) = \frac{- 3}{3}$

解题步骤 10.2.2.3

用 $- 3$ 除以 $3$ 。

$f' (- 4) = - 1$

解题步骤 10.2.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$- 1$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 1, \infty)$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $\frac{x + 1}{| x + 1 |}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \frac{(0) + 1}{| (0) + 1 |}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = \frac{1}{| 0 + 1 |}$

解题步骤 10.3.2.2

化简分母。

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解题步骤 10.3.2.2.1

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$f' (0) = \frac{1}{| 1 |}$

解题步骤 10.3.2.2.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$f' (0) = \frac{1}{1}$

解题步骤 10.3.2.3

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f' (0) = 1$

解题步骤 10.3.2.4

最终答案为 $1$ 。

$1$

解题步骤 10.4

由于一阶导数在 $x = - 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 1$ 是极小值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

微积分学示例