微积分学示例

$y = 2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ , $[- 2, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 {(\frac{1}{5})}^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [{(\frac{1}{5})}^{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $\frac{1}{5}$ 。

$2 ({(\frac{1}{5})}^{x} \ln (\frac{1}{5}))$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{x}}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 1.1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{5^{x}}$ 。

$\frac{2}{5^{x}} \ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

组合 $\frac{2}{5^{x}}$ 和 $\ln (\frac{1}{5})$ 。

$f' (x) = \frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2 \ln (\frac{1}{5})}{5^{x}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 \ln (\frac{1}{5}) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

化简 $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ 。

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解题步骤 1.2.3.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{2.71828182} (\frac{1}{5})$ 。

$\log_{2.71828182} ({(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.3.1.2

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$\log_{2.71828182} (\frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

解题步骤 1.2.3.1.3

一的任意次幂都为一。

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{5^{2}}) = 0$

解题步骤 1.2.3.1.4

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) = 0$

解题步骤 1.2.3.2

因为 $\log_{2.71828182} (\frac{1}{25}) \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$2 {(\frac{1}{5})}^{- 2}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

通过将底数重写为其倒数的方式改变指数的符号。

$2 \cdot 5^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 \cdot 25$

解题步骤 2.1.2.3

将 $2$ 乘以 $25$ 。

$50$

解题步骤 2.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$2 {(\frac{1}{5})}^{3}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简表达式。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $\frac{1}{5}$ 运用乘积法则。

$2 \frac{1^{3}}{5^{3}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$2 \frac{1}{5^{3}}$

解题步骤 2.2.2.1.3

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$2 (\frac{1}{125})$

解题步骤 2.2.2.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{125}$ 。

$\frac{2}{125}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, 50), (3, \frac{2}{125})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 2, 50)$

最小绝对值： $(3, \frac{2}{125})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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