微积分学示例

$f (x) = \sin (x)$

解题步骤 1

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$\cos (x)$

解题步骤 2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 4

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 7

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 7.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 7.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 7.3

化简分子。

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解题步骤 7.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 7.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 10.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 1$

解题步骤 12.2.2

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 14.3

乘以 $- (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 14.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- - 1$

解题步骤 14.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \frac{3 π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{3 π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$f (\frac{3 π}{2}) = - \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 16.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1 \cdot 1$

解题步骤 16.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{3 π}{2}) = - 1$

解题步骤 16.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = \sin (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{2}, 1)$ 是一个局部最大值

$(\frac{3 π}{2}, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

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