微积分学示例

$f (x) = | x |$ , given $\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

$| x |$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{x}{| x |}$ 。

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{x}{| x |}$ 。

$\frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{x}{| x |} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{x}{| x |} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 1.2.3

排除不能使 $\frac{x}{| x |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $| x |$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$| 0 |$

解题步骤 1.4.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 0)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = \sqrt{5}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $\sqrt{5}$ 替换 $x$ 。

$| \sqrt{5} |$

解题步骤 3.1.2

$\sqrt{5}$ 约为 $2.23606797$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\sqrt{5}$

解题步骤 3.2

在 $x = \sqrt{13}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $\sqrt{13}$ 替换 $x$ 。

$| \sqrt{13} |$

解题步骤 3.2.2

$\sqrt{13}$ 约为 $3.60555127$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\sqrt{13}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

最小绝对值： $(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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