微积分学示例

f (x) = | x |

$f (x) = | x |$ , given

\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}

$\sqrt{5} \leq x \leq \sqrt{13}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

| x |

$| x |$ 对

x

$x$ 的导数为

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ 。

f' (x) = \frac{x}{| x |}

$f' (x) = \frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.1.2

f (x)

$f (x)$ 对

x

$x$ 的一阶导数是

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$ 。

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$

\frac{x}{| x |}

$\frac{x}{| x |}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

0

$0$ ，然后求解方程

\frac{x}{| x |} = 0

$\frac{x}{| x |} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

0

$0$ 。

\frac{x}{| x |} = 0

$\frac{x}{| x |} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

x = 0

$x = 0$

解题步骤 1.2.3

排除不能使

\frac{x}{| x |} = 0

$\frac{x}{| x |} = 0$ 成立的解。

无解

$无解$

$无解$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将

$\frac{x}{| x |}$ 的分母设为等于

$0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| x | = 0$

解题步骤 1.3.2

求解

$x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉绝对值项。因为

$| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增

$\pm$ 。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2

正负

$0$ 是

$0$ 。

$x = 0$

$x = 0$

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为

$0$ 或无意义的

$x$ 值，计算

$| x |$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

$x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

$0$ 替换

$x$ 。

$| 0 |$

解题步骤 1.4.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。

$0$ 和

$0$ 之间的距离为

$0$ 。

$0$

$0$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 0)$

$(0, 0)$

$(0, 0)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在

$x = \sqrt{5}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入

$\sqrt{5}$ 替换

$x$ 。

$| \sqrt{5} |$

解题步骤 3.1.2

$\sqrt{5}$ 约为

$2.23606797$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\sqrt{5}$

$\sqrt{5}$

解题步骤 3.2

在

$x = \sqrt{13}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入

$\sqrt{13}$ 替换

$x$ 。

$| \sqrt{13} |$

解题步骤 3.2.2

$\sqrt{13}$ 约为

$3.60555127$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\sqrt{13}$

$\sqrt{13}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

$(\sqrt{5}, \sqrt{5}), (\sqrt{13}, \sqrt{13})$

解题步骤 4

将每个

$x$ 的值对应所得的

$f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

$f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

$f (x)$ 时产生。

最大绝对值：

$(\sqrt{13}, \sqrt{13})$

最小绝对值：

$(\sqrt{5}, \sqrt{5})$

解题步骤 5

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$