微积分学示例

$f (x) = \cos (x + \frac{π}{4})$ , $0 \leq x \leq 2 π$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = x + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + \frac{π}{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

$\cos (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \sin (u)$ 。

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x + \frac{π}{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x + \frac{π}{4}]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x + \frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}])$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $\frac{π}{4}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{π}{4}$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) (1 + 0)$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \sin (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \sin (x + \frac{π}{4})$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4})$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.2.1

将 $- \sin (x + \frac{π}{4}) = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x + \frac{π}{4})}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x + \frac{π}{4})}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.2.2

用 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 除以 $1$ 。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 1.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x + \frac{π}{4}) = 0$

解题步骤 1.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x + \frac{π}{4} = \arcsin (0)$

解题步骤 1.2.4

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x + \frac{π}{4} = 0$

解题步骤 1.2.5

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.6

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x + \frac{π}{4} = π - 0$

解题步骤 1.2.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x + \frac{π}{4} = π$

解题步骤 1.2.7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.2.7.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{4}$ 。

$x = π - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.2.7.2.5.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 1.2.7.2.5.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 1.2.8

求 $\sin (x + \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 1.2.9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.9.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 1.2.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 1.2.9.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 1.2.9.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 1.2.9.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 1.2.10

$\sin (x + \frac{π}{4})$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.11

合并答案。

$x = \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\cos (x + \frac{π}{4})$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{3 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{3 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\cos ((\frac{3 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{3 π + π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$\cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.3

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

约去公因数。

$\cos (\frac{4 π}{4})$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$\cos (π)$

解题步骤 1.4.1.2.4

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$- \cos (0)$

解题步骤 1.4.1.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{7 π}{4}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{7 π}{4}$ 替换 $x$ 。

$\cos ((\frac{7 π}{4}) + \frac{π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{7 π + π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $7 π$ 和 $π$ 相加。

$\cos (\frac{8 π}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.3

约去 $8$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4})$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.3.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 (1)})$

解题步骤 1.4.2.2.3.2.2

约去公因数。

$\cos (\frac{4 (2 π)}{4 \cdot 1})$

解题步骤 1.4.2.2.3.2.3

重写表达式。

$\cos (\frac{2 π}{1})$

解题步骤 1.4.2.2.3.2.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$\cos (2 π)$

解题步骤 1.4.2.2.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (0)$

解题步骤 1.4.2.2.5

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{3 π}{4} + 2 π n, - 1), (\frac{7 π}{4} + 2 π n, 1)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{3 π}{4}, - 1), (\frac{7 π}{4}, 1)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\cos ((0) + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $0$ 和 $\frac{π}{4}$ 相加。

$\cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2

在 $x = 2 π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2 π$ 替换 $x$ 。

$\cos ((2 π) + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\cos (2 π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.2.2.2

合并分数。

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解题步骤 3.2.2.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\cos (\frac{2 π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

解题步骤 3.2.2.2.2

在公分母上合并分子。

$\cos (\frac{2 π \cdot 4 + π}{4})$

解题步骤 3.2.2.3

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\cos (\frac{8 π + π}{4})$

解题步骤 3.2.2.3.2

将 $8 π$ 和 $π$ 相加。

$\cos (\frac{9 π}{4})$

解题步骤 3.2.2.4

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.2.2.5

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(0, \frac{\sqrt{2}}{2}), (2 π, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{7 π}{4}, 1)$

最小绝对值： $(\frac{3 π}{4}, - 1)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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