微积分学示例

$f (x) = \sqrt{9 - x^{2}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - x^{2}}$ 重写成 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.2.3

使用 $9 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.6

化简分子。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.7

合并分数。

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解题步骤 1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 1.8

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 1.13

化简项。

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解题步骤 1.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 1.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 1.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14

约去公因数。

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解题步骤 1.14.1

从 $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

将 ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.2.1

约去公因数。

解题步骤 2.3.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

化简。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.5.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

将 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 - x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.6.3

使用 $9 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.9

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.10

化简分子。

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解题步骤 2.10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11

合并分数。

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解题步骤 2.11.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} \cdot {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.11.4

组合 $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (9 - x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.12

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (9) + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.13

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2}))}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.14

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.16

乘。

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解题步骤 2.16.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + 1 (\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}) \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.16.2

将 $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (x^{2})}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.17

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (2 x)}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.18

合并分数。

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解题步骤 2.18.1

组合 $2$ 和 $\frac{x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.18.2

组合 $\frac{2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x \cdot x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.19

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.20

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 (x \cdot x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.22

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.23

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x^{2}}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.24

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.25

要将 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.26

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.27

通过指数相加将 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.27.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.27.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.27.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{{(9 - x^{2})}^{\frac{2}{2}} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.27.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{(9 - x^{2}) + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.28

化简 ${(9 - x^{2})}^{1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 - x^{2} + x^{2}}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.29

将 $- x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9 + 0}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.30

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.31

将 $\frac{\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}}{9 - x^{2}}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = - (\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{9 - x^{2}}) + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.32

将 $\frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{9 - x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.33

通过指数相加将 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $9 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.33.1

将 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $9 - x^{2}$ 。

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解题步骤 2.33.1.1

对 $9 - x^{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (9 - x^{2})} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.33.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.33.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.33.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1 + 2}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.33.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.34

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 0$

解题步骤 2.35

化简表达式。

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解题步骤 2.35.1

将 $\frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}} + 0$

解题步骤 2.35.2

将 $- \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{9}{{(9 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - x^{2}}$ 重写成 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 9 - x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $9 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

使用 $9 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.7

合并分数。

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解题步骤 4.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(9 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [9 - x^{2}]$

解题步骤 4.1.8

根据加法法则， $9 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 4.1.9

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 4.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 4.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 4.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 4.1.13

化简项。

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解题步骤 4.1.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 4.1.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 4.1.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.14

约去公因数。

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解题步骤 4.1.14.1

从 $2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 4.1.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{{(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x}{\sqrt{{(9 - x^{2})}^{1}}}$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x}{\sqrt{9 - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{9 - x^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{9 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 - x^{2}}$ 重写成 ${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${({(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(9 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(9 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$9 - x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$9 - x^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$- x^{2} = - 9$

解题步骤 6.3.3.2

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $- x^{2} = - 9$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.3.2.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 9$

解题步骤 6.3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{9}$

解题步骤 6.3.3.4

化简 $\pm \sqrt{9}$ 。

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解题步骤 6.3.3.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 6.3.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 3$

解题步骤 6.3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 6.3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3$

解题步骤 6.3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3$

解题步骤 6.3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3, - 3$

解题步骤 6.4

将 $\sqrt{9 - x^{2}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$9 - x^{2} < 0$

解题步骤 6.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

从不等式两边同时减去 $9$ 。

$- x^{2} < - 9$

解题步骤 6.5.2

将 $- x^{2} < - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.2.1

将 $- x^{2} < - 9$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} > \frac{- 9}{- 1}$

解题步骤 6.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.3.1

用 $- 9$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} > 9$

解题步骤 6.5.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{9}$

解题步骤 6.5.4

化简方程。

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解题步骤 6.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{9}$

解题步骤 6.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.4.2.1

化简 $\sqrt{9}$ 。

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解题步骤 6.5.4.2.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$| x | > \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 6.5.4.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | > | 3 |$

解题步骤 6.5.4.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $3$ 之间的距离为 $3$ 。

$| x | > 3$

解题步骤 6.5.5

将 $| x | > 3$ 书写为分段式。

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解题步骤 6.5.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 6.5.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 3$

解题步骤 6.5.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 6.5.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 3$

解题步骤 6.5.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 3 & x \geq 0 \\ - x > 3 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 6.5.6

求 $x > 3$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 3$

解题步骤 6.5.7

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 6.5.7.1

将 $- x > 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.2

化简左边。

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解题步骤 6.5.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{3}{- 1}$

解题步骤 6.5.7.3

化简右边。

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解题步骤 6.5.7.3.1

用 $3$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 3$

解题步骤 6.5.8

求解的并集。

$x < - 3$ 或 $x > 3$

解题步骤 6.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

$x \leq - 3, x \geq 3$

$(- \infty, - 3] \cup [3, \infty)$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 3, 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9}{{(9 - {(0)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分母。

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解题步骤 9.1.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{9}{{(9 - 0)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.1.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{9}{{(9 + 0)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.2

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$- \frac{9}{9^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$- \frac{9}{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 9.1.4

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.5.1

约去公因数。

$- \frac{9}{3^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 9.1.5.2

重写表达式。

$- \frac{9}{3^{3}}$

解题步骤 9.1.6

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{9}{27}$

解题步骤 9.2

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{9 (1)}{27}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 3}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{1}{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \sqrt{9 - {(0)}^{2}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \sqrt{9 - 0}$

解题步骤 11.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = \sqrt{9 + 0}$

解题步骤 11.2.3

将 $9$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = \sqrt{9}$

解题步骤 11.2.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$f (0) = \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 11.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (0) = 3$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 12

计算在 $x = - 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9}{{(9 - {(- 3)}^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{9}{{(9 - 1 \cdot 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.1.2

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$- \frac{9}{{(9 - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.2.1

从 $9$ 中减去 $9$ 。

$- \frac{9}{0^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.2

化简表达式。

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解题步骤 13.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$- \frac{9}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 13.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.3.1

约去公因数。

$- \frac{9}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 13.2.3.2

重写表达式。

$- \frac{9}{0^{3}}$

解题步骤 13.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{9}{0}$

解题步骤 13.2.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{9}{0}$

解题步骤 13.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例