微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [27 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 x$ 对 $x$ 的导数是 $27 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.3.3

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $3 x^{2} - 20 x + 27$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 20 x + 27$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 20 x + 27$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [27]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 20 x) + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 20 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 20$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 20 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 20 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 20$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 20 + \frac{d}{d x} (27)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 20 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x - 20$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 20$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 10 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$3 x^{2} - 20 x + \frac{d}{d x} [27 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [27 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $27$ 对于 $x$ 是常数，所以 $27 x$ 对 $x$ 的导数是 $27 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $27$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 + \frac{d}{d x} [- 18]$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 18$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 18$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $3 x^{2} - 20 x + 27$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 20 x + 27$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 20 x + 27$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 20 x + 27 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = 3$ 、 $b = - 20$ 和 $c = 27$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 27)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $- 20$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $27$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $400$ 中减去 $324$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $- 20$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $27$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $400$ 中减去 $324$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $- 20$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 3 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 27$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 12 \cdot 27}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $27$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 324}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $400$ 中减去 $324$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $76$ 重写为 $2^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

从 $76$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x = \frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{20 \pm 2 \sqrt{19}}{6}$ 。

$x = \frac{10 \pm \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 20$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{10 + \sqrt{19}}{3} - 20$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$2 (10 + \sqrt{19}) - 20$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$2 \cdot 10 + 2 \sqrt{19} - 20$

解题步骤 9.1.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$20 + 2 \sqrt{19} - 20$

解题步骤 9.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0 + 2 \sqrt{19}$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{19}$ 相加。

$2 \sqrt{19}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = \frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.4.1

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {\sqrt{19}}^{2}) + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.3.4.1

约去公因数。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3.4.2

重写表达式。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.3.5

计算指数。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.4

将 $30$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.5

将 ${\sqrt{19}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{19^{3}}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.6

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.7

将 $6859$ 重写为 $19^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.7.1

从 $6859$ 中分解出因数 $361$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.7.2

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.4.8

从根式下提出各项。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.5

将 $1000$ 和 $570$ 相加。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 + \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.6

对 $\frac{10 + \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 + \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.8

将 ${(10 + \sqrt{19})}^{2}$ 重写为 $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(10 + \sqrt{19}) (10 + \sqrt{19})$ 。

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解题步骤 11.2.1.9.1

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 + \sqrt{19}) + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.9.2

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} (10 + \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.9.3

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.10.1.1

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \cdot 10 + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.1.2

将 $10$ 移到 $\sqrt{19}$ 的左侧。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \cdot \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19 \cdot 19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.1.4

将 $19$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{361}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.1.5

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + \sqrt{19^{2}}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.2

将 $100$ 和 $19$ 相加。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 10 \sqrt{19} + 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.10.3

将 $10 \sqrt{19}$ 和 $10 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.11

组合 $- 10$ 和 $\frac{119 + 20 \sqrt{19}}{9}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.12

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.13.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 11.2.1.13.2

约去公因数。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 + \sqrt{19}}{3})) - 18$

解题步骤 11.2.1.13.3

重写表达式。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 + \sqrt{19}) - 18$

解题步骤 11.2.1.14

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.1.15

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.2

要将 $- \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $\frac{10 (119 + 20 \sqrt{19})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 10 (119 + 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5

化简分子。

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解题步骤 11.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 10$ 乘以 $119$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.3

将 $20$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.5

将 $- 1190$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.6

将 $3$ 乘以 $- 200$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 + 19 \sqrt{19} - 3570 - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.7

从 $1570$ 中减去 $3570$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 19 \sqrt{19} - 600 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.5.8

从 $19 \sqrt{19}$ 中减去 $600 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.6

要将 $90$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.7

组合 $90$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.8

化简表达式。

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解题步骤 11.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.8.2

将 $90$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 581 \sqrt{19} + 2430}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.8.3

将 $- 2000$ 和 $2430$ 相加。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 11.2.9

要将 $9 \sqrt{19}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

解题步骤 11.2.10

合并分数。

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解题步骤 11.2.10.1

组合 $9 \sqrt{19}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

解题步骤 11.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

解题步骤 11.2.11

化简分子。

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解题步骤 11.2.11.1

将 $27$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 581 \sqrt{19} + 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

解题步骤 11.2.11.2

将 $- 581 \sqrt{19}$ 和 $243 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

解题步骤 11.2.12

要将 $- 18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 11.2.13

合并分数。

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解题步骤 11.2.13.1

组合 $- 18$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

解题步骤 11.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

解题步骤 11.2.14

化简分子。

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解题步骤 11.2.14.1

将 $- 18$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 - 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

解题步骤 11.2.14.2

从 $430$ 中减去 $486$ 。

$f (\frac{10 + \sqrt{19}}{3}) = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 11.2.15

最终答案为 $\frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ 。

$y = \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 20$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

解题步骤 13.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{10 - \sqrt{19}}{3} - 20$

解题步骤 13.1.1.3

重写表达式。

$2 (10 - \sqrt{19}) - 20$

解题步骤 13.1.2

运用分配律。

$2 \cdot 10 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

解题步骤 13.1.3

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$20 + 2 (- \sqrt{19}) - 20$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$20 - 2 \sqrt{19} - 20$

解题步骤 13.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0 - 2 \sqrt{19}$

解题步骤 13.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{19}$ 。

$- 2 \sqrt{19}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = \frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{3} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{3^{3}} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{10^{3} + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.4.1

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 + 3 \cdot 10^{2} (- \sqrt{19}) + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 3 \cdot (10 {(- \sqrt{19})}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(- \sqrt{19})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.4

对 $- \sqrt{19}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 (1 {\sqrt{19}}^{2}) + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.6

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {\sqrt{19}}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.7

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 {(19^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.7.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.7.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.7.4.1

约去公因数。

解题步骤 15.2.1.4.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.7.5

计算指数。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 30 \cdot 19 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 $30$ 乘以 $19$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- \sqrt{19})}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.9

对 $- \sqrt{19}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.10

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - {\sqrt{19}}^{3}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.11

将 ${\sqrt{19}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{19^{3}}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{3}}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.12

对 $19$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{6859}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 $6859$ 重写为 $19^{2} \cdot 19$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.13.1

从 $6859$ 中分解出因数 $361$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{361 (19)}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.13.2

将 $361$ 重写为 $19^{2}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - \sqrt{19^{2} \cdot 19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.14

从根式下提出各项。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - (19 \sqrt{19})}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.4.15

将 $19$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{1000 - 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.5

将 $1000$ 和 $570$ 相加。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 {(\frac{10 - \sqrt{19}}{3})}^{2} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.6

对 $\frac{10 - \sqrt{19}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{3^{2}} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.7

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{{(10 - \sqrt{19})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.8

将 ${(10 - \sqrt{19})}^{2}$ 重写为 $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(10 - \sqrt{19}) (10 - \sqrt{19})$ 。

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解题步骤 15.2.1.9.1

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 (10 - \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.9.2

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} (10 - \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.9.3

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{10 \cdot 10 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.10.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.10.1.1

将 $10$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 + 10 (- \sqrt{19}) - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.2

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} \cdot 10 - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.3

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} - \sqrt{19} (- \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.4

乘以 $- \sqrt{19} (- \sqrt{19})$ 。

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解题步骤 15.2.1.10.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 1 \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.4.2

将 $\sqrt{19}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + \sqrt{19} \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.4.3

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 15.2.1.10.1.4.4

对 $\sqrt{19}$ 进行 $1$ 次方运算。

解题步骤 15.2.1.10.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{1 + 1}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {\sqrt{19}}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5

将 ${\sqrt{19}}^{2}$ 重写为 $19$ 。

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解题步骤 15.2.1.10.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{19}$ 重写成 $19^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + {(19^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19^{\frac{2}{2}}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{100 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19} + 19}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.2

将 $100$ 和 $19$ 相加。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 10 \sqrt{19} - 10 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.10.3

从 $- 10 \sqrt{19}$ 中减去 $10 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - 10 \frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.11

组合 $- 10$ 和 $\frac{119 - 20 \sqrt{19}}{9}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.12

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 27 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.13

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.13.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 (9) (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) - 18$

解题步骤 15.2.1.13.2

约去公因数。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 3 \cdot (9 (\frac{10 - \sqrt{19}}{3})) - 18$

解题步骤 15.2.1.13.3

重写表达式。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 (10 - \sqrt{19}) - 18$

解题步骤 15.2.1.14

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 9 \cdot 10 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

解题步骤 15.2.1.15

将 $9$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 + 9 (- \sqrt{19}) - 18$

解题步骤 15.2.1.16

将 $- 1$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.2

要将 $- \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9} \cdot \frac{3}{3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $27$ 的形式。

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解题步骤 15.2.3.1

将 $\frac{10 (119 - 20 \sqrt{19})}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{9 \cdot 3} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.3.2

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19}}{27} - \frac{10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 10 (119 - 20 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5

化简分子。

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解题步骤 15.2.5.1

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 10 \cdot 119 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.2

将 $- 10$ 乘以 $119$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 - 10 (- 20 \sqrt{19})) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.3

将 $- 20$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} + (- 1190 + 200 \sqrt{19}) \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.4

运用分配律。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 1190 \cdot 3 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.5

将 $- 1190$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 200 \sqrt{19} \cdot 3}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.6

将 $3$ 乘以 $200$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 1570 - 19 \sqrt{19} - 3570 + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.7

从 $1570$ 中减去 $3570$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 - 19 \sqrt{19} + 600 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.5.8

将 $- 19 \sqrt{19}$ 和 $600 \sqrt{19}$ 相加。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.6

要将 $90$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + 90 \cdot \frac{27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.7

组合 $90$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.8

化简表达式。

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解题步骤 15.2.8.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 90 \cdot 27}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.8.2

将 $90$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 2000 + 581 \sqrt{19} + 2430}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.8.3

将 $- 2000$ 和 $2430$ 相加。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} - 18$

解题步骤 15.2.9

要将 $- 9 \sqrt{19}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} - 9 \sqrt{19} \cdot \frac{27}{27} - 18$

解题步骤 15.2.10

合并分数。

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解题步骤 15.2.10.1

组合 $- 9 \sqrt{19}$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

解题步骤 15.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 9 \sqrt{19} \cdot 27}{27} - 18$

解题步骤 15.2.11

化简分子。

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解题步骤 15.2.11.1

将 $27$ 乘以 $- 9$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 581 \sqrt{19} - 243 \sqrt{19}}{27} - 18$

解题步骤 15.2.11.2

从 $581 \sqrt{19}$ 中减去 $243 \sqrt{19}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18$

解题步骤 15.2.12

要将 $- 18$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} - 18 \cdot \frac{27}{27}$

解题步骤 15.2.13

合并分数。

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解题步骤 15.2.13.1

组合 $- 18$ 和 $\frac{27}{27}$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19}}{27} + \frac{- 18 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 18 \cdot 27}{27}$

解题步骤 15.2.14

化简分子。

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解题步骤 15.2.14.1

将 $- 18$ 乘以 $27$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 430 + 338 \sqrt{19} - 486}{27}$

解题步骤 15.2.14.2

从 $430$ 中减去 $486$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.15

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 15.2.15.1

从 $- 3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.15.2

将 $- 56$ 重写为 $- 1 (56)$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 \cdot 56 + 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.15.3

从 $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19}) - 1 (56)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) + 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.15.4

从 $338 \sqrt{19}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 15.2.15.5

从 $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56) - (- 338 \sqrt{19})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 15.2.15.6

化简表达式。

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解题步骤 15.2.15.6.1

将 $- (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ 重写为 $- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})$ 。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = \frac{- 1 (3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19})}{27}$

解题步骤 15.2.15.6.2

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{10 - \sqrt{19}}{3}) = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 15.2.16

最终答案为 $- \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$ 。

$y = - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} - 10 x^{2} + 27 x - 18$ 的局部极值。

$(\frac{10 + \sqrt{19}}{3}, \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} - 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ 是一个局部最小值

$(\frac{10 - \sqrt{19}}{3}, - \frac{3 \cdot 10^{2} \sqrt{19} + 56 - 338 \sqrt{19}}{27})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例