微积分学示例

$f (x) = 4 \sin^{2} (x)$ on $[0, π]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \sin^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\sin (x)$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.3

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

解题步骤 1.1.1.4

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$8 \sin (x) \cos (x)$

解题步骤 1.1.1.5

重新排序 $8 \sin (x) \cos (x)$ 的因式。

$f' (x) = 8 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 \cos (x) \sin (x)$ 。

$8 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 \cos (x) \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 \cos (x) \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 1.2.3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 1.2.3.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 1.2.3.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.3.2.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.3.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.3.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.3.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.3.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.3.2.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.4

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\sin (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (0)$

解题步骤 1.2.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

$\arcsin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = π - 0$

解题步骤 1.2.4.2.4

从 $π$ 中减去 $0$ 。

$x = π$

解题步骤 1.2.4.2.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.4.2.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.4.2.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.5

最终解为使 $8 \cos (x) \sin (x) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.6

合并答案。

$x = \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 \sin^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$4 \sin^{2} (0)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$4 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0$

解题步骤 1.4.1.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $x$ 。

$4 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$4 \cdot 1^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.2

一的任意次幂都为一。

$4 \cdot 1$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$4$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 4)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{π}{2}, 4)$

解题步骤 3

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 3.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, π) \cup (π, \infty)$

解题步骤 3.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $8 \cos (x) \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 8 \cos (- 2) \sin (- 2)$

解题步骤 3.2.2

化简结果。

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解题步骤 3.2.2.1

计算 $\cos (- 2)$ 。

$f' (- 2) = 8 \cdot (- 0.41614683 \sin (- 2))$

解题步骤 3.2.2.2

将 $8$ 乘以 $- 0.41614683$ 。

$f' (- 2) = - 3.32917469 \sin (- 2)$

解题步骤 3.2.2.3

计算 $\sin (- 2)$ 。

$f' (- 2) = - 3.32917469 \cdot - 0.90929742$

解题步骤 3.2.2.4

将 $- 3.32917469$ 乘以 $- 0.90929742$ 。

$f' (- 2) = 3.02720998$

解题步骤 3.2.2.5

最终答案为 $3.02720998$ 。

$3.02720998$

解题步骤 3.3

将区间 $(0, \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $1$ ）代入一阶导数 $8 \cos (x) \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.3.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f' (1) = 8 \cos (1) \sin (1)$

解题步骤 3.3.2

化简结果。

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解题步骤 3.3.2.1

计算 $\cos (1)$ 。

$f' (1) = 8 \cdot (0.5403023 \sin (1))$

解题步骤 3.3.2.2

将 $8$ 乘以 $0.5403023$ 。

$f' (1) = 4.32241844 \sin (1)$

解题步骤 3.3.2.3

计算 $\sin (1)$ 。

$f' (1) = 4.32241844 \cdot 0.84147098$

解题步骤 3.3.2.4

将 $4.32241844$ 乘以 $0.84147098$ 。

$f' (1) = 3.6371897$

解题步骤 3.3.2.5

最终答案为 $3.6371897$ 。

$3.6371897$

解题步骤 3.4

将区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $8 \cos (x) \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (2) = 8 \cos (2) \sin (2)$

解题步骤 3.4.2

化简结果。

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解题步骤 3.4.2.1

计算 $\cos (2)$ 。

$f' (2) = 8 \cdot (- 0.41614683 \sin (2))$

解题步骤 3.4.2.2

将 $8$ 乘以 $- 0.41614683$ 。

$f' (2) = - 3.32917469 \sin (2)$

解题步骤 3.4.2.3

计算 $\sin (2)$ 。

$f' (2) = - 3.32917469 \cdot 0.90929742$

解题步骤 3.4.2.4

将 $- 3.32917469$ 乘以 $0.90929742$ 。

$f' (2) = - 3.02720998$

解题步骤 3.4.2.5

最终答案为 $- 3.02720998$ 。

$- 3.02720998$

解题步骤 3.5

将区间 $(π, \infty)$ 内的任一数字（例如 $6$ ）代入一阶导数 $8 \cos (x) \sin (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 3.5.1

使用表达式中的 $6$ 替换变量 $x$ 。

$f' (6) = 8 \cos (6) \sin (6)$

解题步骤 3.5.2

化简结果。

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解题步骤 3.5.2.1

计算 $\cos (6)$ 。

$f' (6) = 8 \cdot (0.96017028 \sin (6))$

解题步骤 3.5.2.2

将 $8$ 乘以 $0.96017028$ 。

$f' (6) = 7.68136229 \sin (6)$

解题步骤 3.5.2.3

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (6) = 7.68136229 \cdot - 0.27941549$

解题步骤 3.5.2.4

将 $7.68136229$ 乘以 $- 0.27941549$ 。

$f' (6) = - 2.14629167$

解题步骤 3.5.2.5

最终答案为 $- 2.14629167$ 。

$- 2.14629167$

解题步骤 3.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 3.7

由于一阶导数在 $x = \frac{π}{2}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{π}{2}$ 是极大值。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 3.8

由于一阶导数在 $x = π$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 3.9

这些是 $f (x) = 4 \sin^{2} (x)$ 的局部极值。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{π}{2}, 4)$

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

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