微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} - 4)}^{2}$ on $- 2$ , $2$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 4$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 4$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $x^{2} - 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 (x^{2} - 4) \frac{d}{d x} [x^{2} - 4]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$2 (x^{2} - 4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 (x^{2} - 4) (2 x + \frac{d}{d x} [- 4])$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 (x^{2} - 4) (2 x + 0)$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$2 (x^{2} - 4) (2 x)$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{2} - 4) x$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 4) x$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 4 x$

解题步骤 1.1.1.3.3

合并项。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 4 x$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 4 x$

解题步骤 1.1.1.3.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 x^{3} + 4 \cdot - 4 x$

解题步骤 1.1.1.3.3.4

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $4 x^{3} - 16 x$ 。

$4 x^{3} - 16 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 x^{3} - 16 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 x^{3} - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $4 x^{3} - 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $4 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

因数。

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解题步骤 1.2.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 ${(x^{2} - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${({(0)}^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

${(0 - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $4$ 。

${(- 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$16$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

${(4 - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

${(4 - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.3.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0^{2}$

解题步骤 1.4.3.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, 16), (- 2, 0), (2, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

${({(- 2)}^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

${(4 - 4)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0^{2}$

解题步骤 2.1.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${({(2)}^{2} - 4)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

${(4 - 4)}^{2}$

解题步骤 2.2.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$0^{2}$

解题步骤 2.2.2.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, 0), (2, 0)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, 16)$

最小绝对值： $(- 2, 0), (2, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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