微积分学示例

$f (t) = \frac{t^{2}}{t - 8}$ ; $- 2 \leq t \leq - \frac{1}{4}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ 等于 $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ ，其中 $f (t) = t^{2}$ 且 $g (t) = t - 8$ 。

$\frac{(t - 8) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(t - 8) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $2$ 移到 $t - 8$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (t - 8) t - t^{2} \frac{d}{d t} [t - 8]}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $t - 8$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8]$ 。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + \frac{d}{d t} [- 8])}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $- 8$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 8$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} (1 + 0)}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2} \cdot 1}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 (t - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{(2 t + 2 \cdot - 8) t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

运用分配律。

$\frac{2 t \cdot t + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1

通过指数相加将 $t$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.3.1.1.1

移动 $t$ 。

$\frac{2 (t \cdot t) + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.1.2

将 $t$ 乘以 $t$ 。

$\frac{2 t^{2} + 2 \cdot - 8 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{2 t^{2} - 16 t - t^{2}}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3.2

从 $2 t^{2}$ 中减去 $t^{2}$ 。

$\frac{t^{2} - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

从 $t^{2} - 16 t$ 中分解出因数 $t$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.4.1

从 $t^{2}$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t \cdot t - 16 t}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.2

从 $- 16 t$ 中分解出因数 $t$ 。

$\frac{t \cdot t + t \cdot - 16}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4.3

从 $t \cdot t + t \cdot - 16$ 中分解出因数 $t$ 。

$f' (t) = \frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ 。

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$t (t - 16) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $t$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$t - 16 = 0$

解题步骤 1.2.3.2

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 1.2.3.3

将 $t - 16$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $t - 16$ 设为等于 $0$ 。

$t - 16 = 0$

解题步骤 1.2.3.3.2

在等式两边都加上 $16$ 。

$t = 16$

解题步骤 1.2.3.4

最终解为使 $t (t - 16) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0, 16$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{t (t - 16)}{{(t - 8)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(t - 8)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $t - 8$ 设为等于 $0$ 。

$t - 8 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$t = 8$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $\frac{t^{2}}{t - 8}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $t = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $t$ 。

$\frac{{(0)}^{2}}{(0) - 8}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 - 8}$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$\frac{0}{- 8}$

解题步骤 1.4.1.2.3

用 $0$ 除以 $- 8$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $t = 16$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $16$ 替换 $t$ 。

$\frac{{(16)}^{2}}{(16) - 8}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

对 $16$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{256}{16 - 8}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $16$ 中减去 $8$ 。

$\frac{256}{8}$

解题步骤 1.4.2.2.3

用 $256$ 除以 $8$ 。

$32$

解题步骤 1.4.3

在 $t = 8$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $8$ 替换 $t$ 。

$\frac{{(8)}^{2}}{(8) - 8}$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$\frac{{(8)}^{2}}{0}$

解题步骤 1.4.3.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, 0), (16, 32)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $t = - 2$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 2$ 替换 $t$ 。

$\frac{{(- 2)}^{2}}{(- 2) - 8}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{- 2 - 8}$

解题步骤 3.1.2.1.2

从 $- 2$ 中减去 $8$ 。

$\frac{4}{- 10}$

解题步骤 3.1.2.2

约去 $4$ 和 $- 10$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (2)}{- 10}$

解题步骤 3.1.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.2.2.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 3.1.2.2.2.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 5}$

解题步骤 3.1.2.2.2.3

重写表达式。

$\frac{2}{- 5}$

解题步骤 3.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5}$

解题步骤 3.2

在 $t = - \frac{1}{4}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $- \frac{1}{4}$ 替换 $t$ 。

$\frac{{(- \frac{1}{4})}^{2}}{(- \frac{1}{4}) - 8}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $- \frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 {(\frac{1}{4})}^{2}}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.1.3

对 $\frac{1}{4}$ 运用乘积法则。

$\frac{1 \frac{1^{2}}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.1.4

一的任意次幂都为一。

$\frac{1 \frac{1}{4^{2}}}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.1.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1 (\frac{1}{16})}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.1.6

将 $\frac{1}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8}$

解题步骤 3.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.2.1

要将 $- 8$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} - 8 \cdot \frac{4}{4}}$

解题步骤 3.2.2.2.2

组合 $- 8$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{1}{4} + \frac{- 8 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 8 \cdot 4}{4}}$

解题步骤 3.2.2.2.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.2.2.4.1

将 $- 8$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 1 - 32}{4}}$

解题步骤 3.2.2.2.4.2

从 $- 1$ 中减去 $32$ 。

$\frac{\frac{1}{16}}{\frac{- 33}{4}}$

解题步骤 3.2.2.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{\frac{1}{16}}{- \frac{33}{4}}$

解题步骤 3.2.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{1}{16} (- \frac{4}{33})$

解题步骤 3.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.4.1

将 $- \frac{4}{33}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{1}{16} \cdot \frac{- 4}{33}$

解题步骤 3.2.2.4.2

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 (4)} \cdot \frac{- 4}{33}$

解题步骤 3.2.2.4.3

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

解题步骤 3.2.2.4.4

约去公因数。

$\frac{1}{4 \cdot 4} \cdot \frac{4 \cdot - 1}{33}$

解题步骤 3.2.2.4.5

重写表达式。

$\frac{1}{4} \cdot \frac{- 1}{33}$

解题步骤 3.2.2.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $\frac{- 1}{33}$ 。

$\frac{- 1}{4 \cdot 33}$

解题步骤 3.2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 3.2.2.6.1

将 $4$ 乘以 $33$ 。

$\frac{- 1}{132}$

解题步骤 3.2.2.6.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{132}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 2, - \frac{2}{5}), (- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

解题步骤 4

将每个 $t$ 的值对应所得的 $f (t)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (t)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (t)$ 时产生。

最大绝对值： $(- \frac{1}{4}, - \frac{1}{132})$

最小绝对值： $(- 2, - \frac{2}{5})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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