微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 5 x - 2$ ; between $2$ and $3$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 5 x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 5 + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $3 x^{2} - 5$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 5$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 5$ 。

$3 x^{2} - 5$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 5 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 5 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$3 x^{2} = 5$

解题步骤 1.2.3

将 $3 x^{2} = 5$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $3 x^{2} = 5$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{5}{3}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{5}{3}$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{5}{3}}$

解题步骤 1.2.5

化简 $\pm \sqrt{\frac{5}{3}}$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $\sqrt{\frac{5}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.2

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.3

合并和化简分母。

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解题步骤 1.2.5.3.1

将 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.3.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

解题步骤 1.2.5.3.3

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

解题步骤 1.2.5.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.2.5.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.3.6

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.5.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.2.5.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3^{1}}$

解题步骤 1.2.5.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{5} \sqrt{3}}{3}$

解题步骤 1.2.5.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.5.4.1

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{5 \cdot 3}}{3}$

解题步骤 1.2.5.4.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}$

解题步骤 1.2.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}$

解题步骤 1.2.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$

解题步骤 1.2.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{\sqrt{15}}{3}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 5 x - 2$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{\sqrt{15}}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 替换 $x$ 。

${(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.1.2.1

将 ${\sqrt{15}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{15^{3}}$ 。

$\frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.2

对 $15$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.3

将 $3375$ 重写为 $15^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.1

从 $3375$ 中分解出因数 $225$ 。

$\frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.3.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$\frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2.4

从根式下提出各项。

$\frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

约去 $15$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1

从 $15 \sqrt{15}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.2

约去公因数。

$\frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2.3

重写表达式。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

组合 $- 5$ 和 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{- 5 \sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

将负号移到分数的前面。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.2

要将 $- \frac{5 \sqrt{15}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 1.4.1.2.3.1

将 $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{5 \sqrt{15}}{9} - \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{5 \sqrt{15} - 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.5

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.5.1.1

将 $3$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{5 \sqrt{15} - 15 \sqrt{15}}{9} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.5.1.2

从 $5 \sqrt{15}$ 中减去 $15 \sqrt{15}$ 。

$\frac{- 10 \sqrt{15}}{9} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - \frac{\sqrt{15}}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

对 $- \frac{\sqrt{15}}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{15}}{3})}^{3} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

对 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{{\sqrt{15}}^{3}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.2.1.3.1

将 ${\sqrt{15}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{15^{3}}$ 。

$- \frac{\sqrt{15^{3}}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.2

对 $15$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{\sqrt{3375}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.3

将 $3375$ 重写为 $15^{2} \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.3.3.1

从 $3375$ 中分解出因数 $225$ 。

$- \frac{\sqrt{225 (15)}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.3.2

将 $225$ 重写为 $15^{2}$ 。

$- \frac{\sqrt{15^{2} \cdot 15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.3.4

从根式下提出各项。

$- \frac{15 \sqrt{15}}{3^{3}} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{15 \sqrt{15}}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.5

约去 $15$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.1

从 $15 \sqrt{15}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{27} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 (9)} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.2

约去公因数。

$- \frac{3 (5 \sqrt{15})}{3 \cdot 9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.5.2.3

重写表达式。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} - 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3}) - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.6

乘以 $- 5 (- \frac{\sqrt{15}}{3})$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + 5 \frac{\sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.1.6.2

组合 $5$ 和 $\frac{\sqrt{15}}{3}$ 。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.2

要将 $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $9$ 的形式。

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解题步骤 1.4.2.2.3.1

将 $\frac{5 \sqrt{15}}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{3 \cdot 3} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.3.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{5 \sqrt{15}}{9} + \frac{5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 5 \sqrt{15} \cdot 3}{9} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.2.5.1

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{- 5 \sqrt{15} + 15 \sqrt{15}}{9} - 2$

解题步骤 1.4.2.2.5.2

将 $- 5 \sqrt{15}$ 和 $15 \sqrt{15}$ 相加。

$\frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{\sqrt{15}}{3}, - \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2), (- \frac{\sqrt{15}}{3}, \frac{10 \sqrt{15}}{9} - 2)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - 5 \cdot 2 - 2$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 5 \cdot 2 - 2$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$8 - 10 - 2$

解题步骤 3.1.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

从 $8$ 中减去 $10$ 。

$- 2 - 2$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$- 4$

解题步骤 3.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

${(3)}^{3} - 5 \cdot 3 - 2$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 - 5 \cdot 3 - 2$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$27 - 15 - 2$

解题步骤 3.2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

从 $27$ 中减去 $15$ 。

$12 - 2$

解题步骤 3.2.2.2.2

从 $12$ 中减去 $2$ 。

$10$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(2, - 4), (3, 10)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(3, 10)$

最小绝对值： $(2, - 4)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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