微积分学示例

$r (t) = t^{4} + 6 t^{2} - 2$ , $[1, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 t^{3} + \frac{d}{d t} [6 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [6 t^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $t$ 是常数，所以 $6 t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $6 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$4 t^{3} + 6 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 t^{3} + 6 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$4 t^{3} + 12 t + \frac{d}{d t} [- 2]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$4 t^{3} + 12 t + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $4 t^{3} + 12 t$ 和 $0$ 相加。

$f' (t) = 4 t^{3} + 12 t$

解题步骤 1.1.2

$r (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $4 t^{3} + 12 t$ 。

$4 t^{3} + 12 t$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $4 t^{3} + 12 t = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$4 t^{3} + 12 t = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $4 t^{3} + 12 t$ 中分解出因数 $4 t$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $4 t^{3}$ 中分解出因数 $4 t$ 。

$4 t (t^{2}) + 12 t = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $12 t$ 中分解出因数 $4 t$ 。

$4 t (t^{2}) + 4 t (3) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $4 t (t^{2}) + 4 t (3)$ 中分解出因数 $4 t$ 。

$4 t (t^{2} + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$t = 0$

$t^{2} + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $t$ 设为等于 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $t^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $t$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $t^{2} + 3$ 设为等于 $0$ 。

$t^{2} + 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $t$ 的 $t^{2} + 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$t^{2} = - 3$

解题步骤 1.2.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$t = \pm \sqrt{- 3}$

解题步骤 1.2.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 3}$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.3.1

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$t = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

解题步骤 1.2.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$t = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$t = \pm i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$t = i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$t = - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$t = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $4 t (t^{2} + 3) = 0$ 成立的所有值。

$t = 0, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $t^{4} + 6 t^{2} - 2$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $t = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $t$ 。

${(0)}^{4} + 6 {(0)}^{2} - 2$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 6 {(0)}^{2} - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 6 \cdot 0 - 2$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 - 2$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 2$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

从 $0$ 中减去 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, - 2)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $t = 1$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $1$ 替换 $t$ 。

${(1)}^{4} + 6 {(1)}^{2} - 2$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 {(1)}^{2} - 2$

解题步骤 3.1.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$1 + 6 \cdot 1 - 2$

解题步骤 3.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$1 + 6 - 2$

解题步骤 3.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$7 - 2$

解题步骤 3.1.2.2.2

从 $7$ 中减去 $2$ 。

$5$

解题步骤 3.2

在 $t = 4$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $4$ 替换 $t$ 。

${(4)}^{4} + 6 {(4)}^{2} - 2$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $4$ 次方运算。

$256 + 6 {(4)}^{2} - 2$

解题步骤 3.2.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$256 + 6 \cdot 16 - 2$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$256 + 96 - 2$

解题步骤 3.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $256$ 和 $96$ 相加。

$352 - 2$

解题步骤 3.2.2.2.2

从 $352$ 中减去 $2$ 。

$350$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(1, 5), (4, 350)$

解题步骤 4

将每个 $t$ 的值对应所得的 $r (t)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $r (t)$ 时产生，而最小值在取最低值 $r (t)$ 时产生。

最大绝对值： $(4, 350)$

最小绝对值： $(1, 5)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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