微积分学示例

$y = x^{3} - 12 x + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 + 0$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x^{2} - 12$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 12$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 12 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 + 0$

解题步骤 4.1.3.2

将 $3 x^{2} - 12$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 12$ 。

$3 x^{2} - 12$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 12 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$3 x^{2} = 12$

解题步骤 5.3

将 $3 x^{2} = 12$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $3 x^{2} = 12$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{12}{3}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{12}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $12$ 除以 $3$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 5.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2, - 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (2)$

解题步骤 9

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$12$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = {(2)}^{3} - 12 \cdot 2 + 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 8 - 12 \cdot 2 + 4$

解题步骤 11.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 8 - 24 + 4$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $8$ 中减去 $24$ 。

$f (2) = - 16 + 4$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 16$ 和 $4$ 相加。

$f (2) = - 12$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 12$ 。

$y = - 12$

解题步骤 12

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (- 2)$

解题步骤 13

将 $6$ 乘以 $- 2$ 。

$- 12$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = {(- 2)}^{3} - 12 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = - 8 - 12 \cdot - 2 + 4$

解题步骤 15.2.1.2

将 $- 12$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 8 + 24 + 4$

解题步骤 15.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 8$ 和 $24$ 相加。

$f (- 2) = 16 + 4$

解题步骤 15.2.2.2

将 $16$ 和 $4$ 相加。

$f (- 2) = 20$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $20$ 。

$y = 20$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} - 12 x + 4$ 的局部极值。

$(2, - 12)$ 是一个局部最小值

$(- 2, 20)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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