微积分学示例

$f (x) = x {(x - 4)}^{2}$ ; $[0, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 重写为 $(x - 4) (x - 4)$ 。

$\frac{d}{d x} [x ((x - 4) (x - 4))]$

解题步骤 1.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x (x - 4) - 4 (x - 4))]$

解题步骤 1.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]$

解题步骤 1.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [x (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

解题步骤 1.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

解题步骤 1.1.1.3.1.2

将 $- 4$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]$

解题步骤 1.1.1.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]$

解题步骤 1.1.1.3.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{d}{d x} [x (x^{2} - 8 x + 16)]$

解题步骤 1.1.1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 8 x + 16$ 。

$x \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16] + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5

求微分。

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解题步骤 1.1.1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 8 x + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.3

因为 $- 8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 8 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.5

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [16]) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.6

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x (2 x - 8 + 0) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.7

将 $2 x - 8$ 和 $0$ 相加。

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.5.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x (2 x - 8) + (x^{2} - 8 x + 16) \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.5.9

将 $x^{2} - 8 x + 16$ 乘以 $1$ 。

$x (2 x - 8) + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.1.6.1

运用分配律。

$x (2 x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} + x \cdot - 8 + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.5

将 $- 8$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 8 \cdot x + x^{2} - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.6

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 8 x - 8 x + 16$

解题步骤 1.1.1.6.2.7

从 $- 8 x$ 中减去 $8 x$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 16$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 16 x + 16$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 16$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 16 = 48$ 并且它们的和为 $b = - 16$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $- 16$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

把 $- 16$ 重写为 $- 4$ 加 $- 12$

$3 x^{2} + (- 4 - 12) x + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 4 x - 12 x + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 4 x) - 12 x + 16 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 4) - 4 (3 x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 4$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 4) (x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $3 x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 4 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$3 x = 4$

解题步骤 1.2.4.2.2

将 $3 x = 4$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $3 x = 4$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{4}{3}$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $(3 x - 4) (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{4}{3}, 4$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x {(x - 4)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{4}{3}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{4}{3}$ 替换 $x$ 。

$(\frac{4}{3}) {((\frac{4}{3}) - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

要将 $- 4$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4}{3} {(\frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 4 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.4.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{4}{3} {(\frac{4 - 12}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.4.2

从 $4$ 中减去 $12$ 。

$\frac{4}{3} {(\frac{- 8}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.5

将负号移到分数的前面。

$\frac{4}{3} {(- \frac{8}{3})}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.6

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 1.4.1.2.6.1

对 $- \frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} {(\frac{8}{3})}^{2})$

解题步骤 1.4.1.2.6.2

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4}{3} ({(- 1)}^{2} \frac{8^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 1.4.1.2.7

化简表达式。

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解题步骤 1.4.1.2.7.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{4}{3} (1 \frac{8^{2}}{3^{2}})$

解题步骤 1.4.1.2.7.2

将 $\frac{8^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{3} \cdot \frac{8^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.8

合并。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.9

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.9.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.9.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1} \cdot 3^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.9.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{1 + 2}}$

解题步骤 1.4.1.2.9.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{4 \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.10.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2^{2} \cdot 8^{2}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{2^{2} \cdot {(2^{3})}^{2}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10.3

将 ${(2^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.4.1.2.10.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{3 \cdot 2}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2^{2} \cdot 2^{6}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{2 + 6}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.10.5

将 $2$ 和 $6$ 相加。

$\frac{2^{8}}{3^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.11

计算指数。

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解题步骤 1.4.1.2.11.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2^{8}}{27}$

解题步骤 1.4.1.2.11.2

对 $2$ 进行 $8$ 次方运算。

$\frac{256}{27}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$4 \cdot 0^{2}$

解题步骤 1.4.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(\frac{4}{3}, \frac{256}{27}), (4, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$(0) {((0) - 4)}^{2}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$0 {(- 4)}^{2}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$0 \cdot 16$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0$ 乘以 $16$ 。

$0$

解题步骤 2.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$(4) {((4) - 4)}^{2}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$4 \cdot 0^{2}$

解题步骤 2.2.2.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0), (4, 0)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{4}{3}, \frac{256}{27})$

最小绝对值： $(0, 0), (4, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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