微积分学示例

$f (x) = x^{a} {(1 - x)}^{b}$ , $0 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{a}$ 且 $g (x) = {(1 - x)}^{b}$ 。

$x^{a} \frac{d}{d x} [{(1 - x)}^{b}] + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{b}$ 且 $g (x) = 1 - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x$ 。

$x^{a} (\frac{d}{d u} [u^{b}] \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = b$ 。

$x^{a} (b u^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $1 - x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [1 - x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

根据加法法则， $1 - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.2

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x]$ 相加。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \frac{d}{d x} [- x]) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.4

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- \frac{d}{d x} [x])) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} (- 1 \cdot 1)) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$x^{a} (b {(1 - x)}^{b - 1} \cdot - 1) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

将 $- 1$ 移到 $b {(1 - x)}^{b - 1}$ 的左侧。

$x^{a} (- 1 \cdot (b {(1 - x)}^{b - 1})) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.6.3

将 $- 1 b$ 重写为 $- b$ 。

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} \frac{d}{d x} [x^{a}]$

解题步骤 1.1.1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = a$ 。

$x^{a} (- b {(1 - x)}^{b - 1}) + {(1 - x)}^{b} (a x^{a - 1})$

解题步骤 1.1.1.4

化简。

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解题步骤 1.1.1.4.1

重新排序项。

$- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $- x^{a} b {(1 - x)}^{b - 1} + x^{a - 1} a {(1 - x)}^{b}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$ 。

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- b x^{a} {(1 - x)}^{b - 1} + a x^{a - 1} {(1 - x)}^{b} = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{a} {(1 - (0))}^{b}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $1$ 中减去 $0$ 。

$0^{a} \cdot 1^{b}$

解题步骤 2.1.2.2

一的任意次幂都为一。

$0^{a} \cdot 1$

解题步骤 2.1.2.3

将 $0^{a}$ 乘以 $1$ 。

$0^{a}$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

${(1)}^{a} {(1 - (1))}^{b}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$1 {(1 - (1))}^{b}$

解题步骤 2.2.2.2

将 ${(1 - (1))}^{b}$ 乘以 $1$ 。

${(1 - (1))}^{b}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

${(1 - 1)}^{b}$

解题步骤 2.2.2.4

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0^{b}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0^{a}), (1, 0^{b})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

没有绝对最小值

解题步骤 4

微积分学 示例

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