微积分学示例

$f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ , $[0, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $\frac{2}{5}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ 。

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{5}{2}$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.5

在公分母上合并分子。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.6.2

从 $5$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2}{5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.7

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $x^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{2}{5} \cdot \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.8

将 $\frac{2}{5}$ 乘以 $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ 。

$\frac{2 (5 x^{\frac{3}{2}})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.9

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.10

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.11

约去公因数。

$\frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{10} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.2.12

用 $x^{\frac{3}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- \frac{4}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.5

在公分母上合并分子。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.8

将 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{4}{3}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 4}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.9

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.11

从 $12 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $6$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.12

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.3.12.1

从 $6$ 中分解出因数 $6$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.12.2

约去公因数。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{6 (2 x^{\frac{1}{2}})}{6 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.12.3

重写表达式。

$x^{\frac{3}{2}} - \frac{2 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.12.4

用 $2 x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - (2 x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.3.13

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2}}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4.4

组合 $\frac{2}{2}$ 和 $x$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.1.4.5.1

约去公因数。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + \frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.4.5.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + \frac{d}{d x} [- 5]$

解题步骤 1.1.1.5

因为 $- 5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x + 0$

解题步骤 1.1.1.6

化简。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将 $x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$ 和 $0$ 相加。

$x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} + x$

解题步骤 1.1.1.6.2

重新排序项。

$f' (x) = x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{3} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(u)}^{2} {(u)}^{3} - 2 u = 0$

解题步骤 1.2.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

通过指数相加将 ${(u)}^{2}$ 乘以 ${(u)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$u^{2 + 3} - 2 u = 0$

解题步骤 1.2.4.1.2

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$u^{5} - 2 u = 0$

解题步骤 1.2.4.2

从 $u^{5} - 2 u$ 中分解出因数 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

从 $u^{5}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{4} - 2 u = 0$

解题步骤 1.2.4.2.2

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot u^{4} + u \cdot - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.2.3

从 $u \cdot u^{4} + u \cdot - 2$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (u^{4} - 2) = 0$

解题步骤 1.2.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u = 0$

$u^{4} - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.4

将 $u$ 设为等于 $0$ 。

$u = 0$

解题步骤 1.2.4.5

将 $u^{4} - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.1

将 $u^{4} - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u^{4} - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4.5.2

求解 $u$ 的 $u^{4} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.5.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$u^{4} = 2$

解题步骤 1.2.4.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$u = \pm \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.4.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.4.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.4.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.4.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.4.6

最终解为使 $u (u^{4} - 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.5

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0, \sqrt[4]{2}, - \sqrt[4]{2}$

解题步骤 1.2.6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.6.2

化简指数。

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解题步骤 1.2.6.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.2.6.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 1.2.6.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.7

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{2}} = \sqrt[4]{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2

化简指数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2.1.1.2

化简。

$x = {\sqrt[4]{2}}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1

将 ${\sqrt[4]{2}}^{2}$ 重写为 $\sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{4}}$ 。

$x = {(2^{\frac{1}{4}})}^{2}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 2^{\frac{1}{4} \cdot 2}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $2$ 。

$x = 2^{\frac{2}{4}}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.4

约去 $2$ 和 $4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2^{\frac{2 (1)}{4}}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.2

约去公因数。

$x = 2^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.4.2.3

重写表达式。

$x = 2^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.7.2.2.1.5

将 $2^{\frac{1}{2}}$ 重写为 $\sqrt{2}$ 。

$x = \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.8

列出所有解。

$x = 0, \sqrt{2}, \sqrt{2}$

解题步骤 1.2.9

排除不能使 $x + x^{\frac{3}{2}} - 2 x^{\frac{1}{2}} = 0$ 成立的解。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 1.3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.3.1.2

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x^{1}}$

解题步骤 1.3.1.3

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$x + \sqrt{x^{3}} - 2 \sqrt{x}$

解题步骤 1.3.2

将 $\sqrt{x^{3}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{3} < 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt[3]{x^{3}} < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程。

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解题步骤 1.3.3.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.1.1

从根式下提出各项。

$x < \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x < \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

从根式下提出各项。

$x < 0$

解题步骤 1.3.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

$x < 0$

$(- \infty, 0)$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{x^{2}}{2} - 5$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

用 $0$ 除以 $5$ 。

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.4.3.1

约去公因数。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.3.2

重写表达式。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

用 $0$ 除以 $3$ 。

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 5$

解题步骤 1.4.1.2.1.9

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0 + 0 + 0 - 5$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 - 5$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 5$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, - 5)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 {(0)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.1.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.1.3.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 0^{5}}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.2

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{5} - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.3

用 $0$ 除以 $5$ 。

$0 - \frac{4 {(0)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.1.2.1.4.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$0 - \frac{4 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.2.1.4.3.1

约去公因数。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.4.3.2

重写表达式。

$0 - \frac{4 \cdot 0^{3}}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.4.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - \frac{4 \cdot 0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.5

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - \frac{0}{3} + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.6

用 $0$ 除以 $3$ 。

$0 - 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.7

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{{(0)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.8

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + \frac{0}{2} - 5$

解题步骤 2.1.2.1.9

用 $0$ 除以 $2$ 。

$0 + 0 + 0 - 5$

解题步骤 2.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 - 5$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 5$

解题步骤 2.1.2.2.3

从 $0$ 中减去 $5$ 。

$- 5$

解题步骤 2.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

$\frac{2 {(4)}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.1.2

将 ${(2^{2})}^{\frac{5}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.1.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.1.2.2.2

重写表达式。

$\frac{2 \cdot 2^{5}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{1 + 5}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.1.4

将 $1$ 和 $5$ 相加。

$\frac{2^{6}}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{64}{5} - \frac{4 {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.3

通过指数相加将 $4$ 乘以 ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 ${(4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.2.1.3.1.1

对 $4$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{64}{5} - \frac{4^{1} {(4)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{64}{5} - \frac{4^{1 + \frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.3.3

在公分母上合并分子。

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.3.4

将 $2$ 和 $3$ 相加。

$\frac{64}{5} - \frac{4^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.1.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{64}{5} - \frac{{(2^{2})}^{\frac{5}{2}}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{64}{5} - \frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.4.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1.4.3.1

约去公因数。

$\frac{64}{5} - \frac{2^{2 (\frac{5}{2})}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.4.3.2

重写表达式。

$\frac{64}{5} - \frac{2^{5}}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.4.4

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + \frac{{(4)}^{2}}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.5

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + \frac{16}{2} - 5$

解题步骤 2.2.2.1.6

用 $16$ 除以 $2$ 。

$\frac{64}{5} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

解题步骤 2.2.2.2

求公分母。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $\frac{64}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $\frac{64}{5}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + 8 - 5$

解题步骤 2.2.2.2.3

将 $\frac{32}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + 8 - 5$

解题步骤 2.2.2.2.4

将 $\frac{32}{3}$ 乘以 $\frac{5}{5}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + 8 - 5$

解题步骤 2.2.2.2.5

将 $8$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8}{1} - 5$

解题步骤 2.2.2.2.6

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8}{1} \cdot \frac{15}{15} - 5$

解题步骤 2.2.2.2.7

将 $\frac{8}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} - 5$

解题步骤 2.2.2.2.8

将 $- 5$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5}{1}$

解题步骤 2.2.2.2.9

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5}{1} \cdot \frac{15}{15}$

解题步骤 2.2.2.2.10

将 $\frac{- 5}{1}$ 乘以 $\frac{15}{15}$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.2.11

重新排序 $5 \cdot 3$ 的因式。

$\frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.2.12

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.2.13

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\frac{64 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{8 \cdot 15}{15} + \frac{- 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{64 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.4.1

将 $64$ 乘以 $3$ 。

$\frac{192 - 32 \cdot 5 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.4.2

将 $- 32$ 乘以 $5$ 。

$\frac{192 - 160 + 8 \cdot 15 - 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.4.3

将 $8$ 乘以 $15$ 。

$\frac{192 - 160 + 120 - 5 \cdot 15}{15}$

解题步骤 2.2.2.4.4

将 $- 5$ 乘以 $15$ 。

$\frac{192 - 160 + 120 - 75}{15}$

解题步骤 2.2.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.5.1

从 $192$ 中减去 $160$ 。

$\frac{32 + 120 - 75}{15}$

解题步骤 2.2.2.5.2

将 $32$ 和 $120$ 相加。

$\frac{152 - 75}{15}$

解题步骤 2.2.2.5.3

从 $152$ 中减去 $75$ 。

$\frac{77}{15}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, - 5), (4, \frac{77}{15})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(4, \frac{77}{15})$

最小绝对值： $(0, - 5)$

解题步骤 4

微积分学 示例

微积分学示例