微积分学示例

$f (x) = \sin (\frac{x}{2})$ , $[\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = \frac{x}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\frac{x}{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $\frac{x}{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $\frac{1}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x}{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 1.1.1.2.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\cos (\frac{x}{2})$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$\cos (\frac{x}{2}) = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (0)$

解题步骤 1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$x = π$

解题步骤 1.2.3.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.3.5.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.2.3.5.2.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.5.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.5.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.3.5.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.3.5.2.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.5.2.2.1

化简 $2 (2 π - \frac{π}{2})$ 。

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解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2})$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.3

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.4.1

约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.4.2

重写表达式。

$x = 2 π \cdot 2 - π$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = 4 π - π$

解题步骤 1.2.3.5.2.2.1.6

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = 3 π$

解题步骤 1.2.3.6

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 1.2.3.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.3.6.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 1.2.3.6.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.3.6.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 1.2.3.6.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 1.2.3.7

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 4 π n, 3 π + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.4

合并答案。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sin (\frac{x}{2})$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = π$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $π$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.1.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 3 π$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $3 π$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.2

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 1 \cdot 1$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(π + 4 π n, 1), (3 π + 4 π n, - 1)$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(π, 1)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{\frac{π}{2}}{2})$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.1.2.2

乘以 $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.2.2.1

将 $\frac{π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.1.2.3

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2

在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $\frac{3 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\sin (\frac{\frac{3 π}{2}}{2})$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$\sin (\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.2.2

乘以 $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.2.2.2.1

将 $\frac{3 π}{2}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$\sin (\frac{3 π}{2 \cdot 2})$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\sin (\frac{3 π}{4})$

解题步骤 3.2.2.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 3.2.2.4

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(π, 1)$

最小绝对值： $(\frac{π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (\frac{3 π}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5

微积分学 示例

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