微积分学示例

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{10 x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2} + 4}{10 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 4$ 且 $g (x) = x$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 1.9

合并分数。

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解题步骤 1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

解题步骤 1.9.2

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{10 x^{2}}$

解题步骤 1.10

化简。

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解题步骤 1.10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 1.10.2

化简分子。

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解题步骤 1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 1.10.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 1.10.3

化简分子。

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解题步骤 1.10.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{10 x^{2}}$

解题步骤 1.10.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = (x + 2) (x - 2)$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

将 ${(x^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x + 2$ 且 $g (x) = x - 2$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x + 2$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.5

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.7

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.8.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.2

将 $x - 2$ 乘以 $1$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.4

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.5.8.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.5.8.4.2

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.6.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

解题步骤 2.9

合并分数。

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解题步骤 2.9.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (x) = \frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

解题步骤 2.9.2

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10

化简。

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解题步骤 2.10.1

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2

化简分子。

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解题步骤 2.10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 4) (x - 2)$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.2.1

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2.2

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.2.3

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.1.3

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.2

从 $4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.3.3

将 $- 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.4

运用分配律。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.10.2.1.5.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.1.5.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.2

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.2.3

将 $0$ 和 $8 x$ 相加。

$g'' (x) = \frac{8 x}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3

合并项。

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解题步骤 2.10.3.1

约去 $8$ 和 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.3.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (4 x)}{10 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.3.1.2.1

从 $10 x^{4}$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (x) = \frac{2 (4 x)}{2 (5 x^{4})}$

解题步骤 2.10.3.1.2.2

约去公因数。

$g'' (x) = \frac{2 (4 x)}{2 (5 x^{4})}$

解题步骤 2.10.3.1.2.3

重写表达式。

$g'' (x) = \frac{4 x}{5 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2

约去 $x$ 和 $x^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.10.3.2.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 4}{5 x^{4}}$

解题步骤 2.10.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 2.10.3.2.2.1

从 $5 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 4}{x (5 x^{3})}$

解题步骤 2.10.3.2.2.2

约去公因数。

$g'' (x) = \frac{x \cdot 4}{x (5 x^{3})}$

解题步骤 2.10.3.2.2.3

重写表达式。

$g'' (x) = \frac{4}{5 x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $\frac{1}{10}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{x^{2} + 4}{10 x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ 。

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

解题步骤 4.1.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

根据加法法则， $x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.9

合并分数。

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解题步骤 4.1.9.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1}{10} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

解题步骤 4.1.9.2

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ 。

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.1.10

化简。

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解题步骤 4.1.10.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.1.10.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.1.10.2.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 4}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.1.10.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.10.3.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.1.10.3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$ 。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$(x + 2) (x - 2) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.3.2.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.3.3

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $(x + 2) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{(x + 2) (x - 2)}{10 x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$10 x^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $10 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $10 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{0}{10}$

解题步骤 6.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 x^{2}}{10} = \frac{0}{10}$

解题步骤 6.2.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{10}$

解题步骤 6.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $10$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.2.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.2.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - 2, 2$

解题步骤 8

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{5 {(- 2)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简表达式。

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解题步骤 9.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{5 \cdot - 8}$

解题步骤 9.1.2

将 $5$ 乘以 $- 8$ 。

$\frac{4}{- 40}$

解题步骤 9.2

约去 $4$ 和 $- 40$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{- 40}$

解题步骤 9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $- 40$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 10}$

解题步骤 9.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot - 10}$

解题步骤 9.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 10}$

解题步骤 9.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{10}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{10 (- 2)}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简分子。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{10 (- 2)}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$g (- 2) = \frac{8}{10 (- 2)}$

解题步骤 11.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $10$ 乘以 $- 2$ 。

$g (- 2) = \frac{8}{- 20}$

解题步骤 11.2.2.2

约去 $8$ 和 $- 20$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (- 2) = \frac{4 (2)}{- 20}$

解题步骤 11.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.2.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (- 2) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot - 5}$

解题步骤 11.2.2.2.2.2

约去公因数。

$g (- 2) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot - 5}$

解题步骤 11.2.2.2.2.3

重写表达式。

$g (- 2) = \frac{2}{- 5}$

解题步骤 11.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$g (- 2) = - \frac{2}{5}$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- \frac{2}{5}$ 。

$y = - \frac{2}{5}$

解题步骤 12

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4}{5 {(2)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4}{5 \cdot 8}$

解题步骤 13.1.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$\frac{4}{40}$

解题步骤 13.2

约去 $4$ 和 $40$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (1)}{40}$

解题步骤 13.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.2.1

从 $40$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 10}$

解题步骤 13.2.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 10}$

解题步骤 13.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{10}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{10 (2)}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简分子。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (2) = \frac{4 + 4}{10 (2)}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$g (2) = \frac{8}{10 (2)}$

解题步骤 15.2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$g (2) = \frac{8}{20}$

解题步骤 15.2.2.2

约去 $8$ 和 $20$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (2) = \frac{4 (2)}{20}$

解题步骤 15.2.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.2.2.2.1

从 $20$ 中分解出因数 $4$ 。

$g (2) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5}$

解题步骤 15.2.2.2.2.2

约去公因数。

$g (2) = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 5}$

解题步骤 15.2.2.2.2.3

重写表达式。

$g (2) = \frac{2}{5}$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $\frac{2}{5}$ 。

$y = \frac{2}{5}$

解题步骤 16

这些是 $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{10 x}$ 的局部极值。

$(- 2, - \frac{2}{5})$ 是一个局部最大值

$(2, \frac{2}{5})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例