微积分学示例

$y = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.6

化简分子。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.12

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.2.13.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{\frac{1}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f'' (x) = 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.9.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13.2

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13.3

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.13.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{4}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}) + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.16

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.2.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + \frac{d}{d x} (- 2)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}} + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.5

在公分母上合并分子。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.6.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.7

将负号移到分数的前面。

$3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.8

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.9

组合 $3$ 和 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 移动到分母。

$\frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.12

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 4.1.2.13.1

从 $3 x^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.4

将 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 2$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{\frac{1}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

重写表达式。

$2 = 2 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 。

$2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

解题步骤 5.5.2

将 $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{2} = \frac{2}{2}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $x^{\frac{1}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{2}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

用 $2$ 除以 $2$ 。

$x^{\frac{1}{3}} = 1$

解题步骤 5.5.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 1^{3}$

解题步骤 5.5.4

化简指数。

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解题步骤 5.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 1^{3}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 1^{3}$

解题步骤 5.5.4.1.1.2

化简。

$x = 1^{3}$

解题步骤 5.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.4.2.1

一的任意次幂都为一。

$x = 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 6.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}} - 2$

解题步骤 6.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{\sqrt[3]{x}} - 2$

解题步骤 6.2

将 $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

化简。

$x = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1, 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2}{3 {(1)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

解题步骤 9.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{2}{3}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = 3 {(1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot 1$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 3 \cdot 1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 11.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2 \cdot 1$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = 3 - 2$

解题步骤 11.2.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (1) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简表达式。

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解题步骤 13.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 13.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1

约去公因数。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

解题步骤 13.2.2

重写表达式。

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

解题步骤 13.3

化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

解题步骤 13.3.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 13.3.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$- \frac{2}{0}$

解题步骤 13.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.2.2

最终答案为 $\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$ 。

$\frac{2}{{(- 2)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.3

将区间 $(0, 1)$ 内的任一数字（例如 $0.5$ ）代入一阶导数 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.5) = \frac{2}{{(0.5)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.3.2.1.1

对 $0.5$ 进行 $\frac{1}{3}$ 次方运算。

$f' (0.5) = \frac{2}{0.79370052} - 2$

解题步骤 14.3.2.1.2

用 $2$ 除以 $0.79370052$ 。

$f' (0.5) = 2.51984209 - 2$

解题步骤 14.3.2.2

从 $2.51984209$ 中减去 $2$ 。

$f' (0.5) = 0.51984209$

解题步骤 14.3.2.3

最终答案为 $0.51984209$ 。

$0.51984209$

解题步骤 14.4

将区间 $(1, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} - 2$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{2}{{(4)}^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

去掉圆括号。

$f' (4) = \frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.4.2.2

最终答案为 $\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$ 。

$\frac{2}{4^{\frac{1}{3}}} - 2$

解题步骤 14.5

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 0$ 是极小值。

$x = 0$ 是一个极小值

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = 1$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 1$ 是极大值。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 14.7

这些是 $f (x) = 3 x^{\frac{2}{3}} - 2 x$ 的局部极值。

$x = 0$ 是一个极小值

$x = 1$ 是一个极大值

$x = 0$ 是一个极小值

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例