微积分学示例

$f (t) = 4 \sqrt{t} - t$ , $[0, 16]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $4 \sqrt{t} - t$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$ 。

$\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [4 \sqrt{t}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [4 t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.2

因为 $4$ 对于 $t$ 是常数，所以 $4 t^{\frac{1}{2}}$ 对 $t$ 的导数是 $4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ 。

$4 \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.6

在公分母上合并分子。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.2.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$4 (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.8

将负号移到分数的前面。

$4 (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.9

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$4 \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.10

组合 $4$ 和 $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ 。

$\frac{4 t^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{4}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.12

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.13

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.2.13.1

从 $2 t^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 2}{2 (t^{\frac{1}{2}})} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.13.2

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 2}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.2.13.3

重写表达式。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d t} [- t]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d t} [- t]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (t) = \frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 1.1.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$t^{\frac{1}{2}}, 1$

解题步骤 1.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} = 1$ 中的每一项乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $t^{\frac{1}{2}}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{t^{\frac{1}{2}}} t^{\frac{1}{2}} = 1 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

重写表达式。

$2 = 1 t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$2 = t^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.2.5

求解方程。

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解题步骤 1.2.5.1

将方程重写为 $t^{\frac{1}{2}} = 2$ 。

$t^{\frac{1}{2}} = 2$

解题步骤 1.2.5.2

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

解题步骤 1.2.5.3

化简指数。

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解题步骤 1.2.5.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1

化简 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2.1

约去公因数。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.1.2.2

重写表达式。

$t^{1} = 2^{2}$

解题步骤 1.2.5.3.1.1.2

化简。

$t = 2^{2}$

解题步骤 1.2.5.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.3.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$t = 4$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 1.3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{\sqrt{t^{1}}} - 1$

解题步骤 1.3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$\frac{2}{\sqrt{t}} - 1$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{\sqrt{t}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{t} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{t}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

${(t^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

将 ${(t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

$t^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$t^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

化简。

$t = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$t = 0$

解题步骤 1.3.4

将 $\sqrt{t}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$t < 0$

解题步骤 1.3.5

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$t \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $4 \sqrt{t} - t$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $t = 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $4$ 替换 $t$ 。

$4 \sqrt{4} - (4)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

去掉圆括号。

$4 \sqrt{4} - (4)$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$4 \sqrt{2^{2}} - (4)$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 \cdot 2 - (4)$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 - (4)$

解题步骤 1.4.1.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$8 - 4$

解题步骤 1.4.1.2.3

从 $8$ 中减去 $4$ 。

$4$

解题步骤 1.4.2

在 $t = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $0$ 替换 $t$ 。

$4 \sqrt{0} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

去掉圆括号。

$4 \sqrt{0} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 \cdot 0 - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0)$

解题步骤 1.4.2.2.5

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(4, 4), (0, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $t = 0$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $0$ 替换 $t$ 。

$4 \sqrt{0} - (0)$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$4 \sqrt{0} - (0)$

解题步骤 2.1.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$4 \sqrt{0^{2}} - (0)$

解题步骤 2.1.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 \cdot 0 - (0)$

解题步骤 2.1.2.4

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 - (0)$

解题步骤 2.1.2.5

从 $0$ 中减去 $0$ 。

$0$

解题步骤 2.2

在 $t = 16$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $16$ 替换 $t$ 。

$4 \sqrt{16} - (16)$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

去掉圆括号。

$4 \sqrt{16} - (16)$

解题步骤 2.2.2.2

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$4 \sqrt{4^{2}} - (16)$

解题步骤 2.2.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$4 \cdot 4 - (16)$

解题步骤 2.2.2.2.3

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 - (16)$

解题步骤 2.2.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$16 - 16$

解题步骤 2.2.2.3

从 $16$ 中减去 $16$ 。

$0$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(0, 0), (16, 0)$

解题步骤 3

将每个 $t$ 的值对应所得的 $f (t)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (t)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (t)$ 时产生。

最大绝对值： $(4, 4)$

最小绝对值： $(0, 0), (16, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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