微积分学示例

$h (x) = 2 \sqrt[3]{x}$ , $- 8 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.1.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.1.1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.6

在公分母上合并分子。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.7

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.1.1.7.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.8

将负号移到分数的前面。

$2 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$2 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.10

组合 $2$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$\frac{2 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.1.1.11

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.1.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{3 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$2 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $2 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$3 \sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${(3 \sqrt[3]{x^{2}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${(3 x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

对 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 运用乘积法则。

$3^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$27 x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$27 x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$27 x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项除以 $27$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.1.1

将 $27 x^{2} = 0$ 中的每一项都除以 $27$ 。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1

约去 $27$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{0}{27}$

解题步骤 1.3.3.3.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.1.3.1

用 $0$ 除以 $27$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.3.3.3

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.3.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3.3.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.3.3.3.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $2 \sqrt[3]{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$2 \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

去掉圆括号。

$2 \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.3

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2 \cdot 0$

解题步骤 1.4.1.2.4

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 0)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 8$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 8$ 替换 $x$ 。

$2 \sqrt[3]{- 8}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$2 \sqrt[3]{- 8}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$2 \sqrt[3]{{(- 2)}^{3}}$

解题步骤 2.1.2.3

乘。

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解题步骤 2.1.2.3.1

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$2 \cdot - 2$

解题步骤 2.1.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$2 \sqrt[3]{1}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

去掉圆括号。

$2 \sqrt[3]{1}$

解题步骤 2.2.2.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 8, - 4), (1, 2)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $h (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $h (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $h (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, 2)$

最小绝对值： $(- 8, - 4)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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