微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 1$ , $[- \frac{1}{2}, 4]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $3 x^{2} - 6 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 6 x$ 。

$3 x^{2} - 6 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 6 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 6 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $3 x^{2} - 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) - 6 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 2)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x - 2) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $3 x (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 2$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} - 3 x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 {(0)}^{2} + 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 3 \cdot 0 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 1$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $2$ 替换 $x$ 。

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 - 3 {(2)}^{2} + 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 - 3 \cdot 4 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$8 - 12 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$- 4 + 1$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$- 3$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 1), (2, - 3)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - \frac{1}{2}$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- \frac{1}{2}$ 替换 $x$ 。

${(- \frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.2.1.1.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.1.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1^{3}}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{2^{3}} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.4

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{1}{8} - 3 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.5

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

对 $- \frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

对 $\frac{1}{2}$ 运用乘积法则。

$- \frac{1}{8} - 3 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.6

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{8} - 3 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.7

将 $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.8

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{8} - 3 \frac{1}{2^{2}} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.9

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{1}{8} - 3 (\frac{1}{4}) + 1$

解题步骤 2.1.2.1.10

组合 $- 3$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$- \frac{1}{8} + \frac{- 3}{4} + 1$

解题步骤 2.1.2.1.11

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8} - \frac{3}{4} + 1$

解题步骤 2.1.2.2

求公分母。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8} - (\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{2}) + 1$

解题步骤 2.1.2.2.2

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + 1$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $1$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1}$

解题步骤 2.1.2.2.4

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{1} \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 2.1.2.2.5

将 $\frac{1}{1}$ 乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{8}{8}$

解题步骤 2.1.2.2.6

重新排序 $4 \cdot 2$ 的因式。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{8}{8}$

解题步骤 2.1.2.2.7

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{1}{8} - \frac{3 \cdot 2}{8} + \frac{8}{8}$

解题步骤 2.1.2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{- 1 - 3 \cdot 2 + 8}{8}$

解题步骤 2.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.1.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 1 - 6 + 8}{8}$

解题步骤 2.1.2.4.2

从 $- 1$ 中减去 $6$ 。

$\frac{- 7 + 8}{8}$

解题步骤 2.1.2.4.3

将 $- 7$ 和 $8$ 相加。

$\frac{1}{8}$

解题步骤 2.2

在 $x = 4$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $4$ 替换 $x$ 。

${(4)}^{3} - 3 {(4)}^{2} + 1$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$64 - 3 {(4)}^{2} + 1$

解题步骤 2.2.2.1.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 - 3 \cdot 16 + 1$

解题步骤 2.2.2.1.3

将 $- 3$ 乘以 $16$ 。

$64 - 48 + 1$

解题步骤 2.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从 $64$ 中减去 $48$ 。

$16 + 1$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$17$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- \frac{1}{2}, \frac{1}{8}), (4, 17)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(4, 17)$

最小绝对值： $(2, - 3)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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