微积分学示例

$x^{4} - 2 x^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1.1

根据加法法则，

$x^{4} - 2 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.2.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

解题步骤 1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 2$ 。

$4 x^{3} - 4 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

根据加法法则，

$4 x^{3} - 4 x$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

解题步骤 2.2

计算

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

因为

$4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$4 x^{3}$ 对

$x$ 的导数是

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

解题步骤 2.2.3

将

$3$ 乘以

$4$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

解题步骤 2.3

计算

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

因为

$- 4$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 4 x$ 对

$x$ 的导数是

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将

$- 4$ 乘以

$1$ 。

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于

$0$ 并求解。

$4 x^{3} - 4 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

求一阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

求微分。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则，

$x^{4} - 2 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 4$ 。

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.2.1

因为

$- 2$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 2 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$4 x^{3} - 2 (2 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 2$ 。

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$4 x^{3} - 4 x$ 。

$4 x^{3} - 4 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$4 x^{3} - 4 x = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$4 x^{3} - 4 x = 0$

解题步骤 5.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

从

$4 x^{3} - 4 x$ 中分解出因数

$4 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1.1

从

$4 x^{3}$ 中分解出因数

$4 x$ 。

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

解题步骤 5.2.1.2

从

$- 4 x$ 中分解出因数

$4 x$ 。

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

解题步骤 5.2.1.3

从

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ 中分解出因数

$4 x$ 。

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

解题步骤 5.2.2

将

$1$ 重写为

$1^{2}$ 。

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 5.2.3

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中

$a = x$ 和

$b = 1$ 。

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 5.2.3.2

去掉多余的括号。

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.5.1

将

$x + 1$ 设为等于

$0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.5.2

从等式两边同时减去

$1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.6

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.6.1

将

$x - 1$ 设为等于

$0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上

$1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.7

最终解为使

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 8

计算在

$x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(0)}^{2} - 4$

解题步骤 9

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 9.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$12 \cdot 0 - 4$

解题步骤 9.1.2

将

$12$ 乘以

$0$ 。

$0 - 4$

解题步骤 9.2

从

$0$ 中减去

$4$ 。

$- 4$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以

$x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求

$x = 0$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.1

使用表达式中的

$0$ 替换变量

$x$ 。

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 11.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2}$

解题步骤 11.2.1.2

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0$

解题步骤 11.2.1.3

将

$- 2$ 乘以

$0$ 。

$f (0) = 0 + 0$

解题步骤 11.2.2

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.3

最终答案为

$0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

计算在

$x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

解题步骤 13

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 13.1.1

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$12 \cdot 1 - 4$

解题步骤 13.1.2

将

$12$ 乘以

$1$ 。

$12 - 4$

解题步骤 13.2

从

$12$ 中减去

$4$ 。

$8$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = - 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 15

求

$x = - 1$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.1

使用表达式中的

$- 1$ 替换变量

$x$ 。

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 15.2.1.1

对

$- 1$ 进行

$4$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2}$

解题步骤 15.2.1.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 15.2.1.3

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$f (- 1) = 1 - 2$

解题步骤 15.2.2

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$f (- 1) = - 1$

解题步骤 15.2.3

最终答案为

$- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 16

计算在

$x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$12 {(1)}^{2} - 4$

解题步骤 17

计算二阶导数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 17.1.1

一的任意次幂都为一。

$12 \cdot 1 - 4$

解题步骤 17.1.2

将

$12$ 乘以

$1$ 。

$12 - 4$

解题步骤 17.2

从

$12$ 中减去

$4$ 。

$8$

解题步骤 18

因为二阶导数的值为正数，所以

$x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 19

求

$x = 1$ 时的 y 值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.1

使用表达式中的

$1$ 替换变量

$x$ 。

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2}$

解题步骤 19.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 19.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2}$

解题步骤 19.2.1.2

一的任意次幂都为一。

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1$

解题步骤 19.2.1.3

将

$- 2$ 乘以

$1$ 。

$f (1) = 1 - 2$

解题步骤 19.2.2

从

$1$ 中减去

$2$ 。

$f (1) = - 1$

解题步骤 19.2.3

最终答案为

$- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 20

这些是

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

$(- 1, - 1)$ 是一个局部最小值

$(1, - 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 21

微积分学 示例

微积分学示例