微积分学示例

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 1$ 。

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

求微分。

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解题步骤 1.1.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $x^{2} + 1$ 乘以 $1$ 。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.5

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.9

组合 $4$ 和 $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10

化简。

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解题步骤 1.1.1.10.1

运用分配律。

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.10.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

解题步骤 1.2.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 1.2.3.1

从等式两边同时减去 $4$ 。

$- 4 x^{2} = - 4$

解题步骤 1.2.3.2

将 $- 4 x^{2} = - 4$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将 $- 4 x^{2} = - 4$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

解题步骤 1.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.2.3.1

用 $- 4$ 除以 $- 4$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.2.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.2.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.2.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.2.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.2.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{4}{1 + 1}$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{4}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.3

用 $4$ 除以 $2$ 。

$2$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

解题步骤 1.4.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 4}{1 + 1}$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 4}{2}$

解题步骤 1.4.2.2.3

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$- 2$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(1, 2), (- 1, - 2)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(- 1, - 2)$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = - 4$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.1.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.1.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 16}{16 + 1}$

解题步骤 3.1.2.2.2

将 $16$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 16}{17}$

解题步骤 3.1.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{16}{17}$

解题步骤 3.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.2

化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

解题步骤 3.2.2.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{0}{0 + 1}$

解题步骤 3.2.2.2.2

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{0}{1}$

解题步骤 3.2.2.3

用 $0$ 除以 $1$ 。

$0$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, 0)$

最小绝对值： $(- 1, - 2)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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