微积分学示例

$g (x) = e^{- x^{4}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x^{4}$ 。

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解题步骤 1.1.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{4}$ 。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 1.1.1.1.3

使用 $- x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

重新排序 $e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$ 的因式。

$- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$

解题步骤 1.1.1.3.2

将 $- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

解题步骤 1.1.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$ 。

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$

解题步骤 1.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

$e^{- x^{4}} = 0$

解题步骤 1.2.3

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $x^{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{3} = 0$

解题步骤 1.2.3.2

求解 $x$ 的 $x^{3} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{0}$

解题步骤 1.2.3.2.2

化简 $\sqrt[3]{0}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

解题步骤 1.2.3.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $e^{- x^{4}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $e^{- x^{4}}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x^{4}} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $e^{- x^{4}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x^{4}}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.4.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.4.2.3

$e^{- x^{4}} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.2.5

最终解为使 $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $e^{- x^{4}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$e^{- {(0)}^{4}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$e^{- 0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$e^{0}$

解题步骤 1.4.1.2.3

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(0, 1)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 2$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 2$ 替换 $x$ 。

$e^{- {(- 2)}^{4}}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$e^{- 1 \cdot 16}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $16$ 。

$e^{- 16}$

解题步骤 2.1.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e^{16}}$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$e^{- {(1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

一的任意次幂都为一。

$e^{- 1 \cdot 1}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$e^{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 2, \frac{1}{e^{16}}), (1, \frac{1}{e})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $g (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $g (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $g (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, 1)$

最小绝对值： $(- 2, \frac{1}{e^{16}})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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