微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 7$ ;

$- 1 \leq x \leq 6$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则，

$x^{3} - 6 x^{2} + 7$ 对

$x$ 的导数是

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2

计算

$\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为

$- 6$ 对于

$x$ 是常数，所以

$- 6 x^{2}$ 对

$x$ 的导数是

$- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则，

$\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于

$n x^{n - 1}$ ，其中

$n = 2$ 。

$3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将

$2$ 乘以

$- 6$ 。

$3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} [7]$

解题步骤 1.1.1.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为

$7$ 对于

$x$ 是常数，所以

$7$ 对

$x$ 的导数为

$0$ 。

$3 x^{2} - 12 x + 0$

解题步骤 1.1.1.3.2

将

$3 x^{2} - 12 x$ 和

$0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对

$x$ 的一阶导数是

$3 x^{2} - 12 x$ 。

$3 x^{2} - 12 x$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于

$0$ ，然后求解方程

$3 x^{2} - 12 x = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于

$0$ 。

$3 x^{2} - 12 x = 0$

解题步骤 1.2.2

从

$3 x^{2} - 12 x$ 中分解出因数

$3 x$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从

$3 x^{2}$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x) - 12 x = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从

$- 12 x$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 4) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从

$3 x (x) + 3 x (- 4)$ 中分解出因数

$3 x$ 。

$3 x (x - 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于

$0$ ，则整个表达式将等于

$0$ 。

$x = 0$

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将

$x$ 设为等于

$0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将

$x - 4$ 设为等于

$0$ 并求解

$x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将

$x - 4$ 设为等于

$0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

在等式两边都加上

$4$ 。

$x = 4$

解题步骤 1.2.6

最终解为使

$3 x (x - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 4$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为

$0$ 或无意义的

$x$ 值，计算

$x^{3} - 6 x^{2} + 7$ 。

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解题步骤 1.4.1

在

$x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入

$0$ 替换

$x$ 。

${(0)}^{3} - 6 {(0)}^{2} + 7$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$0 - 6 {(0)}^{2} + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对

$0$ 进行任意正数次方的运算均得到

$0$ 。

$0 - 6 \cdot 0 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将

$- 6$ 乘以

$0$ 。

$0 + 0 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将

$0$ 和

$0$ 相加。

$0 + 7$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

将

$0$ 和

$7$ 相加。

$7$

解题步骤 1.4.2

在

$x = 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入

$4$ 替换

$x$ 。

${(4)}^{3} - 6 {(4)}^{2} + 7$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对

$4$ 进行

$3$ 次方运算。

$64 - 6 {(4)}^{2} + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对

$4$ 进行

$2$ 次方运算。

$64 - 6 \cdot 16 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将

$- 6$ 乘以

$16$ 。

$64 - 96 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

从

$64$ 中减去

$96$ 。

$- 32 + 7$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

将

$- 32$ 和

$7$ 相加。

$- 25$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 7), (4, - 25)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在

$x = - 1$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入

$- 1$ 替换

$x$ 。

${(- 1)}^{3} - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对

$- 1$ 进行

$3$ 次方运算。

$- 1 - 6 {(- 1)}^{2} + 7$

解题步骤 2.1.2.1.2

对

$- 1$ 进行

$2$ 次方运算。

$- 1 - 6 \cdot 1 + 7$

解题步骤 2.1.2.1.3

将

$- 6$ 乘以

$1$ 。

$- 1 - 6 + 7$

解题步骤 2.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

从

$- 1$ 中减去

$6$ 。

$- 7 + 7$

解题步骤 2.1.2.2.2

将

$- 7$ 和

$7$ 相加。

$0$

解题步骤 2.2

在

$x = 6$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入

$6$ 替换

$x$ 。

${(6)}^{3} - 6 {(6)}^{2} + 7$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对

$6$ 进行

$3$ 次方运算。

$216 - 6 {(6)}^{2} + 7$

解题步骤 2.2.2.1.2

对

$6$ 进行

$2$ 次方运算。

$216 - 6 \cdot 36 + 7$

解题步骤 2.2.2.1.3

将

$- 6$ 乘以

$36$ 。

$216 - 216 + 7$

解题步骤 2.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

从

$216$ 中减去

$216$ 。

$0 + 7$

解题步骤 2.2.2.2.2

将

$0$ 和

$7$ 相加。

$7$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 1, 0), (6, 7)$

解题步骤 3

将每个

$x$ 的值对应所得的

$f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值

$f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值

$f (x)$ 时产生。

最大绝对值：

$(0, 7), (6, 7)$

最小绝对值：

$(4, - 25)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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