微积分学示例

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\cos (x) - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- \sin (x) - 1$

解题步骤 1.1.1.4

重新排序项。

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 1 - \sin (x)$ 。

$- 1 - \sin (x)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 1 - \sin (x) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 1 - \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$- \sin (x) = 1$

解题步骤 1.2.3

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $- \sin (x) = 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.2.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 1.2.4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 1.2.5

化简右边。

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解题步骤 1.2.5.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 1.2.7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 1.2.7.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 1.2.7.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.8

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 1.2.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 1.2.8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 1.2.8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 1.2.8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 1.2.9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 1.2.9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{2}$ 以求正角。

$- \frac{π}{2} + 2 π$

解题步骤 1.2.9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.9.3

合并分数。

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解题步骤 1.2.9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.2.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 1.2.9.4

化简分子。

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解题步骤 1.2.9.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 1.2.9.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.9.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.2.10

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.2.11

合并答案。

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\cos (x) - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $\frac{3 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{3 π}{2}$ 。

$- \frac{3 π}{2}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = \frac{7 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $\frac{7 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{7 π}{2}$

解题步骤 1.4.2.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{7 π}{2}$ 。

$- \frac{7 π}{2}$

解题步骤 1.4.3

在 $x = \frac{11 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $\frac{11 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

解题步骤 1.4.3.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{11 π}{2}$

解题步骤 1.4.3.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{11 π}{2}$ 。

$- \frac{11 π}{2}$

解题步骤 1.4.4

在 $x = \frac{15 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.4.1

代入 $\frac{15 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

解题步骤 1.4.4.2

化简。

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解题步骤 1.4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.4.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

解题步骤 1.4.4.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{15 π}{2}$

解题步骤 1.4.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{15 π}{2}$ 。

$- \frac{15 π}{2}$

解题步骤 1.4.5

在 $x = \frac{19 π}{2}$ 处计算

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解题步骤 1.4.5.1

代入 $\frac{19 π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

解题步骤 1.4.5.2

化简。

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解题步骤 1.4.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.5.2.1.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

解题步骤 1.4.5.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{19 π}{2}$

解题步骤 1.4.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{19 π}{2}$ 。

$- \frac{19 π}{2}$

解题步骤 1.4.6

列出所有的点。

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

解题步骤 3

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 3.1

在 $x = \frac{π}{2}$ 处计算

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解题步骤 3.1.1

代入 $\frac{π}{2}$ 替换 $x$ 。

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$0 - \frac{π}{2}$

解题步骤 3.1.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{π}{2}$ 。

$- \frac{π}{2}$

解题步骤 3.2

在 $x = 2 π$ 处计算

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解题步骤 3.2.1

代入 $2 π$ 替换 $x$ 。

$\cos (2 π) - (2 π)$

解题步骤 3.2.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$\cos (0) - (2 π)$

解题步骤 3.2.2.2

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$1 - (2 π)$

解题步骤 3.2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$1 - 2 π$

解题步骤 3.3

列出所有的点。

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

最小绝对值： $(2 π, 1 - 2 π)$

解题步骤 5

微积分学 示例

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