微积分学示例

$f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

解题步骤 1.5.2

将 $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ 和 $0$ 相加。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = - 3 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = - 6 x + \frac{d}{d x} (12 x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [12 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12 x$ 对 $x$ 的导数是 $12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 12 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.3.3

将 $12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 12 + \frac{d}{d x} (- 10)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 6 x + 12 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $- 6 x + 12$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 6 x + 12$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $- x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [- 10 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [- 10 x]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.4.3

将 $- 10$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 4.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.5.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 + 0$

解题步骤 4.1.5.2

将 $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x - 10$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 3 x^{2} + 12 x - 10$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 3 x^{2} + 12 x - 10 = 0$

解题步骤 5.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 5.3

将 $a = - 3$ 、 $b = 12$ 和 $c = - 10$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (- 3 \cdot - 10)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4

化简。

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解题步骤 5.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.4.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ 。

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解题步骤 5.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 10$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.3

从 $144$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.4.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.4.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

解题步骤 5.4.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.5.1

化简分子。

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解题步骤 5.5.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ 。

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解题步骤 5.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 10$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.3

从 $144$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.5.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

解题步骤 5.5.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.5.4

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 5.6.1

化简分子。

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解题步骤 5.6.1.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot - 3 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 3 \cdot - 10$ 。

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解题步骤 5.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 + 12 \cdot - 10}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.2.2

将 $12$ 乘以 $- 10$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 120}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.3

从 $144$ 中减去 $120$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{24}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.4

将 $24$ 重写为 $2^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.6.1.4.1

从 $24$ 中分解出因数 $4$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{4 (6)}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{2 \cdot - 3}$

解题步骤 5.6.2

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$x = \frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$

解题步骤 5.6.3

化简 $\frac{- 12 \pm 2 \sqrt{6}}{- 6}$ 。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.6.4

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 5.7

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$- 2 (6 + \sqrt{6}) + 12$

解题步骤 9.1.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 6 - 2 \sqrt{6} + 12$

解题步骤 9.1.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$- 12 - 2 \sqrt{6} + 12$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0 - 2 \sqrt{6}$

解题步骤 9.2.2

从 $0$ 中减去 $2 \sqrt{6}$ 。

$- 2 \sqrt{6}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 + \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.4.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {\sqrt{6}}^{2}) + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.4

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.5.5

计算指数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.6

将 $18$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.7

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.8

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.9

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 11.2.1.4.9.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.9.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.4.10

从根式下提出各项。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 \sqrt{6} + 108 + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.5

将 $216$ 和 $108$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 108 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.6

将 $108 \sqrt{6}$ 和 $6 \sqrt{6}$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7

约去 $324 + 114 \sqrt{6}$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.7.1

从 $324$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7.2

从 $114 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7.3

从 $3 (108) + 3 (38 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7.4

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.7.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 + 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 + \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.8

对 $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.10.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.10.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.10.3

约去公因数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.10.4

重写表达式。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.11

组合 $2$ 和 $\frac{{(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 + \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.12

将 ${(6 + \sqrt{6})}^{2}$ 重写为 $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.13

使用 FOIL 方法展开 $(6 + \sqrt{6}) (6 + \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 11.2.1.13.1

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 + \sqrt{6}) + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.13.2

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} (6 + \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.13.3

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 11.2.1.14.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.14.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \cdot 6 + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.1.2

将 $6$ 移到 $\sqrt{6}$ 的左侧。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \cdot \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.1.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6 \cdot 6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.1.4

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{36})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.1.5

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + \sqrt{6^{2}})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.2

将 $36$ 和 $6$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 6 \sqrt{6} + 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.14.3

将 $6 \sqrt{6}$ 和 $6 \sqrt{6}$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 + 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.15

约去 $42 + 12 \sqrt{6}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.15.1

从 $2 (42 + 12 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.15.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.1.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.15.2.2

约去公因数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 + 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.15.2.3

重写表达式。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 + 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.15.2.4

用 $2 (14 + 4 \sqrt{6})$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 + 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.16

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.17

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.18

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 + \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.19

组合 $- 10$ 和 $\frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.2

要将 $28$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.3

合并分数。

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解题步骤 11.2.3.1

组合 $28$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 11.2.3.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.3.2.2

将 $28$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 + 38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.4

化简分子。

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解题步骤 11.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (38 \sqrt{6}) + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.4.3

将 $38$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - 38 \sqrt{6} + 252}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.4.4

将 $- 108$ 和 $252$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.5

求公分母。

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解题步骤 11.2.5.1

将 $8 \sqrt{6}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.5.2

将 $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.5.3

将 $\frac{8 \sqrt{6}}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 11.2.5.4

将 $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

解题步骤 11.2.5.5

将 $\frac{10 (6 + \sqrt{6})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

解题步骤 11.2.5.6

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

解题步骤 11.2.5.7

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 11.2.5.8

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.5.9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7

化简每一项。

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解题步骤 11.2.7.1

将 $9$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 10 (6 + \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.2

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.3

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.4

运用分配律。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.5

将 $- 60$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.6

将 $3$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 11.2.7.7

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 180 - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

解题步骤 11.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 11.2.8.1

从 $144$ 中减去 $180$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

解题步骤 11.2.8.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 11.2.8.2.1

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 - 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 11.2.8.2.2

从 $0$ 中减去 $38 \sqrt{6}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 38 \sqrt{6} + 72 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 11.2.8.3

将 $- 38 \sqrt{6}$ 和 $72 \sqrt{6}$ 相加。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{34 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 11.2.8.4

从 $34 \sqrt{6}$ 中减去 $30 \sqrt{6}$ 。

$f (\frac{6 + \sqrt{6}}{3}) = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 11.2.9

最终答案为 $\frac{4 \sqrt{6}}{9}$ 。

$y = \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 12

计算在 $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 6 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (- 2) \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 13.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot - 2 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 12$

解题步骤 13.1.1.3

重写表达式。

$- 2 (6 - \sqrt{6}) + 12$

解题步骤 13.1.2

运用分配律。

$- 2 \cdot 6 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

解题步骤 13.1.3

将 $- 2$ 乘以 $6$ 。

$- 12 - 2 (- \sqrt{6}) + 12$

解题步骤 13.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 12 + 2 \sqrt{6} + 12$

解题步骤 13.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 13.2.1

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0 + 2 \sqrt{6}$

解题步骤 13.2.2

将 $0$ 和 $2 \sqrt{6}$ 相加。

$2 \sqrt{6}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{3} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{3^{3}} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{{(6 - \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.3

使用二项式定理。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{6^{3} + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.4.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (6^{2} (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.2

对 $6$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 3 \cdot (36 (- \sqrt{6})) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.3

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 + 108 (- \sqrt{6}) + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.4

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 3 \cdot (6 {(- \sqrt{6})}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.5

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(- \sqrt{6})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.6

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.7

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 (1 {\sqrt{6}}^{2}) + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.8

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {\sqrt{6}}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.9.4.1

约去公因数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9.4.2

重写表达式。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.9.5

计算指数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 18 \cdot 6 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.10

将 $18$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- \sqrt{6})}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.11

对 $- \sqrt{6}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 + {(- 1)}^{3} {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.12

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - {\sqrt{6}}^{3}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.13

将 ${\sqrt{6}}^{3}$ 重写为 $\sqrt{6^{3}}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{3}}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.14

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{216}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.15

将 $216$ 重写为 $6^{2} \cdot 6$ 。

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解题步骤 15.2.1.4.15.1

从 $216$ 中分解出因数 $36$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{36 (6)}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.15.2

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - \sqrt{6^{2} \cdot 6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.16

从根式下提出各项。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - (6 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.4.17

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{216 - 108 \sqrt{6} + 108 - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.5

将 $216$ 和 $108$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 108 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.6

从 $- 108 \sqrt{6}$ 中减去 $6 \sqrt{6}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{324 - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7

约去 $324 - 114 \sqrt{6}$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.1

从 $324$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) - 114 \sqrt{6}}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7.2

从 $- 114 \sqrt{6}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7.3

从 $3 (108) + 3 (- 38 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{27} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7.4

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.7.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7.4.2

约去公因数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{3 (108 - 38 \sqrt{6})}{3 \cdot 9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.7.4.3

重写表达式。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 {(\frac{6 - \sqrt{6}}{3})}^{2} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.8

对 $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3^{2}}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.9

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 6 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.10

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.10.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 (2) (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{9}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.10.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.10.3

约去公因数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 3 \cdot (2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3 \cdot 3})) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.10.4

重写表达式。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.11

组合 $2$ 和 $\frac{{(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 {(6 - \sqrt{6})}^{2}}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.12

将 ${(6 - \sqrt{6})}^{2}$ 重写为 $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 ((6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.13

使用 FOIL 方法展开 $(6 - \sqrt{6}) (6 - \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 15.2.1.13.1

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 (6 - \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.13.2

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} (6 - \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.13.3

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (6 \cdot 6 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14

化简并合并同类项。

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解题步骤 15.2.1.14.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.14.1.1

将 $6$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 + 6 (- \sqrt{6}) - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.2

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} \cdot 6 - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} - \sqrt{6} (- \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4

乘以 $- \sqrt{6} (- \sqrt{6})$ 。

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解题步骤 15.2.1.14.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 1 \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4.2

将 $\sqrt{6}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4.4

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + \sqrt{6} \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{1 + 1})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {\sqrt{6}}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 15.2.1.14.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + {(6^{\frac{1}{2}})}^{2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.14.1.5.4.1

约去公因数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6^{\frac{2}{2}})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5.4.2

重写表达式。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.1.5.5

计算指数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (36 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6} + 6)}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.2

将 $36$ 和 $6$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 6 \sqrt{6} - 6 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.14.3

从 $- 6 \sqrt{6}$ 中减去 $6 \sqrt{6}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (42 - 12 \sqrt{6})}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.15

约去 $42 - 12 \sqrt{6}$ 和 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.1

从 $2 (42 - 12 \sqrt{6})$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.15.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.1.15.2.1

从 $3$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 (1)} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.15.2.2

约去公因数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{3 (2 (14 - 4 \sqrt{6}))}{3 \cdot 1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.15.2.3

重写表达式。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{2 (14 - 4 \sqrt{6})}{1} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.15.2.4

用 $2 (14 - 4 \sqrt{6})$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 (14 - 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.16

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 2 \cdot 14 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.17

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 + 2 (- 4 \sqrt{6}) - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.18

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - 10 \frac{6 - \sqrt{6}}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.19

组合 $- 10$ 和 $\frac{6 - \sqrt{6}}{3}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} + \frac{- 10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.1.20

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.2

要将 $28$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + 28 \cdot \frac{9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.3

合并分数。

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解题步骤 15.2.3.1

组合 $28$ 和 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{108 - 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.3.2

化简表达式。

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解题步骤 15.2.3.2.1

在公分母上合并分子。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 28 \cdot 9}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.3.2.2

将 $28$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- (108 - 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.4

化简分子。

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解题步骤 15.2.4.1

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.4.2

将 $- 1$ 乘以 $108$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 - (- 38 \sqrt{6}) + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.4.3

将 $- 38$ 乘以 $- 1$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 108 + 38 \sqrt{6} + 252}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.4.4

将 $- 108$ 和 $252$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} - 8 \sqrt{6} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.5

求公分母。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- 8 \sqrt{6}$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.5.2

将 $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6}}{1} \cdot \frac{9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.5.3

将 $\frac{- 8 \sqrt{6}}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} + 4$

解题步骤 15.2.5.4

将 $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - (\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

解题步骤 15.2.5.5

将 $\frac{10 (6 - \sqrt{6})}{3}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + 4$

解题步骤 15.2.5.6

将 $4$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

解题步骤 15.2.5.7

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 15.2.5.8

将 $\frac{4}{1}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.5.9

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6}}{9} + \frac{- 8 \sqrt{6} \cdot 9}{9} - \frac{10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 8 \sqrt{6} \cdot 9 - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7

化简每一项。

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解题步骤 15.2.7.1

将 $9$ 乘以 $- 8$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 10 (6 - \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.2

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 10 \cdot 6 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.3

将 $- 10$ 乘以 $6$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 - 10 (- \sqrt{6})) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.4

将 $- 1$ 乘以 $- 10$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + (- 60 + 10 \sqrt{6}) \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.5

运用分配律。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 60 \cdot 3 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.6

将 $- 60$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 10 \sqrt{6} \cdot 3 + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.7

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 4 \cdot 9}{9}$

解题步骤 15.2.7.8

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{144 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} - 180 + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

解题步骤 15.2.8

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 15.2.8.1

从 $144$ 中减去 $180$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 36 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6} + 36}{9}$

解题步骤 15.2.8.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.8.2.1

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{0 + 38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 15.2.8.2.2

将 $0$ 和 $38 \sqrt{6}$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{38 \sqrt{6} - 72 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 15.2.8.3

从 $38 \sqrt{6}$ 中减去 $72 \sqrt{6}$ 。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 34 \sqrt{6} + 30 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 15.2.8.4

将 $- 34 \sqrt{6}$ 和 $30 \sqrt{6}$ 相加。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = \frac{- 4 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 15.2.8.5

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{6 - \sqrt{6}}{3}) = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 15.2.9

最终答案为 $- \frac{4 \sqrt{6}}{9}$ 。

$y = - \frac{4 \sqrt{6}}{9}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = - x^{3} + 6 x^{2} - 10 x + 4$ 的局部极值。

$(\frac{6 + \sqrt{6}}{3}, \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ 是一个局部最大值

$(\frac{6 - \sqrt{6}}{3}, - \frac{4 \sqrt{6}}{9})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例