微积分学示例

$h (x) = x^{3} e^{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

重新排序项。

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

解题步骤 1.4.2

将 $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ 。

$h'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$h'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

解题步骤 2.2.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2} e^{x}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

解题步骤 2.3.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

解题步骤 2.4.2.2

将 $e^{x} (3 x^{2})$ 和 $3 x^{2} e^{x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.2.2.1

移动 $e^{x}$ 。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

解题步骤 2.4.2.2.2

将 $3 x^{2} e^{x}$ 和 $3 x^{2} e^{x}$ 相加。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

解题步骤 2.4.3

重新排序项。

$h'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

解题步骤 2.4.4

将 $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ 中的因式重新排序。

$h'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

解题步骤 4.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

重新排序项。

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

解题步骤 4.1.4.2

将 $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

解题步骤 4.2

$h (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

解题步骤 5.2

从 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{2} e^{x}$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{3} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{2} e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $3 x^{2} e^{x}$ 中分解出因数 $x^{2} e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ 中分解出因数 $x^{2} e^{x}$ 。

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 5.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 5.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 5.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 5.5.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 5.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 5.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 5.5.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 5.6

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.6.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 5.7

最终解为使 $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 3$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.5

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.6

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.7

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

解题步骤 9.1.8

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 e^{0}$

解题步骤 9.1.9

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

解题步骤 9.1.10

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0 + 0 + 0$

解题步骤 9.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0$

解题步骤 10

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 10.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

解题步骤 10.2

将区间 $(- \infty, - 3)$ 内的任一数字（例如 $- 6$ ）代入一阶导数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.2.1

使用表达式中的 $- 6$ 替换变量 $x$ 。

$h' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $3$ 次方运算。

$h' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$h' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2.1.3

组合 $- 216$ 和 $\frac{1}{e^{6}}$ 。

$h' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2.1.5

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

解题步骤 10.2.2.1.6

将 $3$ 乘以 $36$ 。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

解题步骤 10.2.2.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

解题步骤 10.2.2.1.8

组合 $108$ 和 $\frac{1}{e^{6}}$ 。

$h' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

解题步骤 10.2.2.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.2.2.1

在公分母上合并分子。

$h' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

解题步骤 10.2.2.2.2

化简表达式。

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解题步骤 10.2.2.2.2.1

将 $- 216$ 和 $108$ 相加。

$h' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

解题步骤 10.2.2.2.2.2

将负号移到分数的前面。

$h' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

解题步骤 10.2.2.3

最终答案为 $- \frac{108}{e^{6}}$ 。

$- \frac{108}{e^{6}}$

解题步骤 10.3

将区间 $(- 3, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.3.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$h' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2

化简结果。

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解题步骤 10.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.3.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$h' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$h' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2.1.3

组合 $- 8$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$h' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2.1.4

将负号移到分数的前面。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

解题步骤 10.3.2.1.6

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

解题步骤 10.3.2.1.7

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

解题步骤 10.3.2.1.8

组合 $12$ 和 $\frac{1}{e^{2}}$ 。

$h' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

解题步骤 10.3.2.2

合并分数。

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解题步骤 10.3.2.2.1

在公分母上合并分子。

$h' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

解题步骤 10.3.2.2.2

将 $- 8$ 和 $12$ 相加。

$h' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 10.3.2.3

最终答案为 $\frac{4}{e^{2}}$ 。

$\frac{4}{e^{2}}$

解题步骤 10.4

将区间 $(0, \infty)$ 内的任一数字（例如 $2$ ）代入一阶导数 $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 10.4.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$h' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

解题步骤 10.4.2

化简结果。

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解题步骤 10.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.4.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

解题步骤 10.4.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$h' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

解题步骤 10.4.2.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$h' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

解题步骤 10.4.2.2

将 $8 e^{2}$ 和 $12 e^{2}$ 相加。

$h' (2) = 20 e^{2}$

解题步骤 10.4.2.3

最终答案为 $20 e^{2}$ 。

$20 e^{2}$

解题步骤 10.5

由于一阶导数在 $x = - 3$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 3$ 是极小值。

$x = - 3$ 是一个极小值

解题步骤 10.6

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 10.7

这些是 $h (x) = x^{3} e^{x}$ 的局部极值。

$x = - 3$ 是一个极小值

解题步骤 11

微积分学 示例

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