微积分学示例

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{2} + \frac{240}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $240$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{240}{x}$ 对 $x$ 的导数是 $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

解题步骤 1.1.1.2.4

将 $- 1$ 乘以 $240$ 。

$2 x - 240 x^{- 2}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

组合 $- 240$ 和 $\frac{1}{x^{2}}$ 。

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ 。

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, x^{2}, 1$

解题步骤 1.2.2.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{2}$

解题步骤 1.2.3

将 $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.3.1

将 $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.2.1.2.1

将 $- \frac{240}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.2

约去公因数。

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.2.1.2.3

重写表达式。

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

解题步骤 1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$2 x^{3} - 240 = 0$

解题步骤 1.2.4

求解方程。

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解题步骤 1.2.4.1

在等式两边都加上 $240$ 。

$2 x^{3} = 240$

解题步骤 1.2.4.2

从等式两边同时减去 $240$ 。

$2 x^{3} - 240 = 0$

解题步骤 1.2.4.3

从 $2 x^{3} - 240$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

解题步骤 1.2.4.3.2

从 $- 240$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

解题步骤 1.2.4.3.3

从 $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 120) = 0$

解题步骤 1.2.4.4

将 $2 (x^{3} - 120) = 0$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.4.4.1

将 $2 (x^{3} - 120) = 0$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.4.4.2.1.2

用 $x^{3} - 120$ 除以 $1$ 。

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

解题步骤 1.2.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.4.3.1

用 $0$ 除以 $2$ 。

$x^{3} - 120 = 0$

解题步骤 1.2.4.5

在等式两边都加上 $120$ 。

$x^{3} = 120$

解题步骤 1.2.4.6

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[3]{120}$

解题步骤 1.2.4.7

化简 $\sqrt[3]{120}$ 。

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解题步骤 1.2.4.7.1

将 $120$ 重写为 $2^{3} \cdot 15$ 。

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解题步骤 1.2.4.7.1.1

从 $120$ 中分解出因数 $8$ 。

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

解题步骤 1.2.4.7.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

解题步骤 1.2.4.7.2

从根式下提出各项。

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{240}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.3.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.3.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{2} + \frac{240}{x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 2 \sqrt[3]{15}$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $2 \sqrt[3]{15}$ 替换 $x$ 。

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $2 \sqrt[3]{15}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{15^{2}}$ 。

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.5

约去 $240$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.1

从 $240$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.5.2.1

从 $2 \sqrt[3]{15}$ 中分解出因数 $2$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.2.2

约去公因数。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.5.2.3

重写表达式。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.6

将 $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.1.2.1.7.1

将 $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.2

对 $\sqrt[3]{15}$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5

将 ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ 重写为 $15$ 。

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解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{15}$ 重写成 $15^{\frac{1}{3}}$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.3

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $3$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.4.1

约去公因数。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.4.2

重写表达式。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.7.5.5

计算指数。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

解题步骤 1.4.1.2.1.8

约去 $120$ 和 $15$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.8.1

从 $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ 中分解出因数 $15$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.2

约去公因数。

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解题步骤 1.4.1.2.1.8.2.1

从 $15$ 中分解出因数 $15$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.2.2

约去公因数。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.2.3

重写表达式。

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

解题步骤 1.4.1.2.1.8.2.4

用 $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ 除以 $1$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

解题步骤 1.4.1.2.1.9

将 ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ 重写为 $\sqrt[3]{15^{2}}$ 。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2.1.10

对 $15$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $4 \sqrt[3]{225}$ 和 $8 \sqrt[3]{225}$ 相加。

$12 \sqrt[3]{225}$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

解题步骤 1.4.2.2

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

解题步骤 2

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 2.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

解题步骤 2.2

将区间 $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 2.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

解题步骤 2.2.2.1.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

解题步骤 2.2.2.1.3

用 $240$ 除以 $4$ 。

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $60$ 。

$f' (- 2) = - 4 - 60$

解题步骤 2.2.2.2

从 $- 4$ 中减去 $60$ 。

$f' (- 2) = - 64$

解题步骤 2.2.2.3

最终答案为 $- 64$ 。

$- 64$

解题步骤 2.3

将区间 $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $7$ ）代入一阶导数 $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 2.3.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

化简结果。

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解题步骤 2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

解题步骤 2.3.2.1.2

对 $7$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $14$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{49}{49}$ 。

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $14$ 和 $\frac{49}{49}$ 。

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $14$ 乘以 $49$ 。

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $686$ 中减去 $240$ 。

$f' (7) = \frac{446}{49}$

解题步骤 2.3.2.6

最终答案为 $\frac{446}{49}$ 。

$\frac{446}{49}$

解题步骤 2.4

由于一阶导数在 $x = 2 \sqrt[3]{15}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 2 \sqrt[3]{15}$ 是极小值。

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ 是一个极小值

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

最小绝对值： $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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