微积分学示例

$g (x) = 4 x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 6$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x^{3} e^{- x}$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = e^{- x}$ 。

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = - x$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x$ 。

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ 等于 $a^{u} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$4 (x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.3.3

使用 $- x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4

求微分。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$4 (x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$4 (x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4.3

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$4 (x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- x}$ 的左侧。

$4 (x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4.3.3

将 $- 1 e^{- x}$ 重写为 $- e^{- x}$ 。

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

解题步骤 1.1.1.4.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$4 (x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2}))$

解题步骤 1.1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.1.5.1

运用分配律。

$4 (x^{3} (- e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

解题步骤 1.1.1.5.2

合并项。

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解题步骤 1.1.1.5.2.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (x^{3} (e^{- x})) + 4 (e^{- x} (3 x^{2}))$

解题步骤 1.1.1.5.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 e^{- x} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.5.3

重新排序项。

$- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$

解题步骤 1.1.1.5.4

将 $- 4 e^{- x} x^{3} + 12 e^{- x} x^{2}$ 中的因式重新排序。

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1.1.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ 。

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

解题步骤 1.2.2

从 $- 4 x^{3} e^{- x} + 12 x^{2} e^{- x}$ 中分解出因数 $4 x^{2} e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $- 4 x^{3} e^{- x}$ 中分解出因数 $4 x^{2} e^{- x}$ 。

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 12 x^{2} e^{- x} = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从 $12 x^{2} e^{- x}$ 中分解出因数 $4 x^{2} e^{- x}$ 。

$4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $4 x^{2} e^{- x} (- x) + 4 x^{2} e^{- x} (3)$ 中分解出因数 $4 x^{2} e^{- x}$ 。

$4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x^{2}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 1.2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 1.2.4.2.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 1.2.4.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 1.2.4.2.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 1.2.5

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $e^{- x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{- x} = 0$

解题步骤 1.2.5.2

求解 $x$ 的 $e^{- x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.5.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.5.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.5.2.3

$e^{- x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.2.6

将 $- x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $- x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$- x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

求解 $x$ 的 $- x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.6.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- x = - 3$

解题步骤 1.2.6.2.2

将 $- x = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.2.6.2.2.1

将 $- x = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 1.2.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.6.2.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$x = 3$

解题步骤 1.2.7

最终解为使 $4 x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $4 x^{3} e^{- x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$4 {(0)}^{3} e^{- (0)}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$4 \cdot 0 e^{- (0)}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{- (0)}$

解题步骤 1.4.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$0 e^{0}$

解题步骤 1.4.1.2.4

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$0 \cdot 1$

解题步骤 1.4.1.2.5

将 $0$ 乘以 $1$ 。

$0$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$4 {(3)}^{3} e^{- (3)}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 27 e^{- (3)}$

解题步骤 1.4.2.2.2

将 $4$ 乘以 $27$ 。

$108 e^{- (3)}$

解题步骤 1.4.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$108 e^{- 3}$

解题步骤 1.4.2.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$108 \frac{1}{e^{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.5

组合 $108$ 和 $\frac{1}{e^{3}}$ 。

$\frac{108}{e^{3}}$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(0, 0), (3, \frac{108}{e^{3}})$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$4 {(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot - 1 e^{- (- 1)}$

解题步骤 2.1.2.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 e^{- (- 1)}$

解题步骤 2.1.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 4 e^{1}$

解题步骤 2.1.2.4

化简。

$- 4 e$

解题步骤 2.2

在 $x = 6$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $6$ 替换 $x$ 。

$4 {(6)}^{3} e^{- (6)}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

对 $6$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 216 e^{- (6)}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $4$ 乘以 $216$ 。

$864 e^{- (6)}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$864 e^{- 6}$

解题步骤 2.2.2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$864 \frac{1}{e^{6}}$

解题步骤 2.2.2.5

组合 $864$ 和 $\frac{1}{e^{6}}$ 。

$\frac{864}{e^{6}}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 1, - 4 e), (6, \frac{864}{e^{6}})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $g (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $g (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $g (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(3, \frac{108}{e^{3}})$

最小绝对值： $(- 1, - 4 e)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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