微积分学示例

$g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 1.1.1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 1 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $1 - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.2.3

使用 $1 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.5

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.6

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.6.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.7

合并分数。

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解题步骤 1.1.1.7.1

将负号移到分数的前面。

$\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.7.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.7.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.8

根据加法法则， $1 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.1.9

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 1.1.1.10

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

解题步骤 1.1.1.11

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 1.1.1.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

解题步骤 1.1.1.13

化简项。

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解题步骤 1.1.1.13.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

解题步骤 1.1.1.13.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

解题步骤 1.1.1.13.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.13.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.14

约去公因数。

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解题步骤 1.1.1.14.1

从 $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

解题步骤 1.1.1.14.2

约去公因数。

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.14.3

重写表达式。

$\frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.1.15

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.1.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$x = 0$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将分数指数表达式转化为根式。

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解题步骤 1.3.1.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$- \frac{x}{\sqrt{{(1 - x^{2})}^{1}}}$

解题步骤 1.3.1.2

任何指数为 $1$ 的幂均为底数本身。

$- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

解题步骤 1.3.2

将 $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt{1 - x^{2}} = 0$

解题步骤 1.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{1 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 1.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 重写成 ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1

化简 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1

将 ${({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(1 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.2.1.2

化简。

$1 - x^{2} = 0^{2}$

解题步骤 1.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$1 - x^{2} = 0$

解题步骤 1.3.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.3.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} = - 1$

解题步骤 1.3.3.3.2

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.3.3.3.2.1

将 $- x^{2} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.3.3.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.3.3.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} = 1$

解题步骤 1.3.3.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 1.3.3.3.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 1.3.3.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 1.3.3.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 1.3.3.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 1.3.3.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

解题步骤 1.3.4

将 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 的被开方数设为小于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$1 - x^{2} < 0$

解题步骤 1.3.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.5.1

从不等式两边同时减去 $1$ 。

$- x^{2} < - 1$

解题步骤 1.3.5.2

将 $- x^{2} < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.2.1

将 $- x^{2} < - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.2.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} > \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} > 1$

解题步骤 1.3.5.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{1}$

解题步骤 1.3.5.4

化简方程。

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解题步骤 1.3.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.4.1.1

从根式下提出各项。

$| x | > \sqrt{1}$

解题步骤 1.3.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.4.2.1

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$| x | > 1$

解题步骤 1.3.5.5

将 $| x | > 1$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.3.5.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.3.5.5.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x > 1$

解题步骤 1.3.5.5.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.3.5.5.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x > 1$

解题步骤 1.3.5.5.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x > 1 & x \geq 0 \\ - x > 1 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.3.5.6

求 $x > 1$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$x > 1$

解题步骤 1.3.5.7

将 $- x > 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.3.5.7.1

将 $- x > 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} < \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.7.2

化简左边。

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解题步骤 1.3.5.7.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} < \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.7.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x < \frac{1}{- 1}$

解题步骤 1.3.5.7.3

化简右边。

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解题步骤 1.3.5.7.3.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

$x < - 1$

解题步骤 1.3.5.8

求解的并集。

$x < - 1$ 或 $x > 1$

解题步骤 1.3.6

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

$x \leq - 1, x \geq 1$

$(- \infty, - 1] \cup [1, \infty)$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\sqrt{1 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(0)}^{2}}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\sqrt{1 - 0}$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\sqrt{1 + 0}$

解题步骤 1.4.1.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\sqrt{1}$

解题步骤 1.4.1.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

通过指数相加将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 ${(- 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1.1

对 $- 1$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\sqrt{1 + {(- 1)}^{3}}$

解题步骤 1.4.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\sqrt{1 - 1}$

解题步骤 1.4.2.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{0}$

解题步骤 1.4.2.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.4.2.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0$

解题步骤 1.4.3

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.3.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\sqrt{1 - {(1)}^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2

化简。

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解题步骤 1.4.3.2.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 - 1 \cdot 1}$

解题步骤 1.4.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sqrt{1 - 1}$

解题步骤 1.4.3.2.3

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\sqrt{0}$

解题步骤 1.4.3.2.4

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$\sqrt{0^{2}}$

解题步骤 1.4.3.2.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$0$

解题步骤 1.4.4

列出所有的点。

$(0, 1), (- 1, 0), (1, 0)$

解题步骤 2

排除不在区间内的点。

$(0, 1), (1, 0)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $g (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $g (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $g (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(0, 1)$

最小绝对值： $(1, 0)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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