微积分学示例

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

根据加法法则， $\ln (x) - x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ 。

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x} - 1$ 。

$\frac{1}{x} - 1$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x} - 1 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$\frac{1}{x} = 1$

解题步骤 1.2.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.2.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, 1$

解题步骤 1.2.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x$

解题步骤 1.2.4

将 $\frac{1}{x} = 1$ 中的每一项乘以 $x$ 以消去分数。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $\frac{1}{x} = 1$ 中的每一项乘以 $x$ 。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

解题步骤 1.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.4.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{1}{x} x = 1 x$

解题步骤 1.2.4.2.1.2

重写表达式。

$1 = 1 x$

解题步骤 1.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$1 = x$

解题步骤 1.2.5

将方程重写为 $x = 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\ln (x) - x$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\ln (1) - (1)$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$0 - (1)$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$0 - 1$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$- 1$

解题步骤 1.4.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\ln (0) - (0)$

解题步骤 1.4.2.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(1, - 1)$

解题步骤 2

使用一阶导数判别法来确定哪些点可能有极大值或极小值。

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解题步骤 2.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 2.2

将区间 $(- \infty, 1)$ 内的任一数字（例如 $- 2$ ）代入一阶导数 $\frac{1}{x} - 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 2.2.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

解题步骤 2.2.2

化简结果。

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解题步骤 2.2.2.1

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

解题步骤 2.2.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

解题步骤 2.2.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.2.2.4

在公分母上合并分子。

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

解题步骤 2.2.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.2.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

解题步骤 2.2.2.5.2

从 $- 1$ 中减去 $2$ 。

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 2.2.2.6

将负号移到分数的前面。

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 2.2.2.7

最终答案为 $- \frac{3}{2}$ 。

$- \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3

将区间 $(1, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $\frac{1}{x} - 1$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 2.3.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

解题步骤 2.3.2

化简结果。

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解题步骤 2.3.2.1

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 2.3.2.2

组合 $- 1$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.3

在公分母上合并分子。

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.4.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

解题步骤 2.3.2.4.2

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

解题步骤 2.3.2.5

将负号移到分数的前面。

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

解题步骤 2.3.2.6

最终答案为 $- \frac{3}{4}$ 。

$- \frac{3}{4}$

解题步骤 2.4

由于一阶导数在 $x = 1$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 2.5

对于 $f (x) = \ln (x) - x$ ，不存在局部最大值和最小值。

没有局部最大值或最小值

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

没有绝对最大值

没有绝对最小值

解题步骤 4

微积分学 示例

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