微积分学示例

$f (x) = x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ on $- 4$ , $0$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.2.3

将 $2$ 乘以 $6$ 。

$3 x^{2} + 12 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [9 x]$ 。

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解题步骤 1.1.1.3.1

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9 x$ 对 $x$ 的导数是 $9 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.3.3

将 $9$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9 + \frac{d}{d x} [10]$

解题步骤 1.1.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.1.1.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9 + 0$

解题步骤 1.1.1.4.2

将 $3 x^{2} + 12 x + 9$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} + 12 x + 9$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} + 12 x + 9$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} + 12 x + 9 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $3 x^{2} + 12 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 12 x + 9 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $12 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (4 x) + 9 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (4 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.5

从 $3 (x^{2} + 4 x) + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 4 x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.2.2

因数。

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解题步骤 1.2.2.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x + 1) (x + 3)) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x + 1) (x + 3) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 1.2.6

最终解为使 $3 (x + 1) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 3$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $x^{3} + 6 x^{2} + 9 x + 10$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

${(- 1)}^{3} + 6 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 10$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 + 6 {(- 1)}^{2} + 9 (- 1) + 10$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 + 6 \cdot 1 + 9 (- 1) + 10$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + 6 + 9 (- 1) + 10$

解题步骤 1.4.1.2.1.4

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 6 - 9 + 10$

解题步骤 1.4.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.1.2.2.1

将 $- 1$ 和 $6$ 相加。

$5 - 9 + 10$

解题步骤 1.4.1.2.2.2

从 $5$ 中减去 $9$ 。

$- 4 + 10$

解题步骤 1.4.1.2.2.3

将 $- 4$ 和 $10$ 相加。

$6$

解题步骤 1.4.2

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 1.4.2.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

${(- 3)}^{3} + 6 {(- 3)}^{2} + 9 (- 3) + 10$

解题步骤 1.4.2.2

化简。

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解题步骤 1.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.2.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 + 6 {(- 3)}^{2} + 9 (- 3) + 10$

解题步骤 1.4.2.2.1.2

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 27 + 6 \cdot 9 + 9 (- 3) + 10$

解题步骤 1.4.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $9$ 。

$- 27 + 54 + 9 (- 3) + 10$

解题步骤 1.4.2.2.1.4

将 $9$ 乘以 $- 3$ 。

$- 27 + 54 - 27 + 10$

解题步骤 1.4.2.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 1.4.2.2.2.1

将 $- 27$ 和 $54$ 相加。

$27 - 27 + 10$

解题步骤 1.4.2.2.2.2

从 $27$ 中减去 $27$ 。

$0 + 10$

解题步骤 1.4.2.2.2.3

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$10$

解题步骤 1.4.3

列出所有的点。

$(- 1, 6), (- 3, 10)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 4$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

${(- 4)}^{3} + 6 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 10$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

对 $- 4$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 64 + 6 {(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 10$

解题步骤 2.1.2.1.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 64 + 6 \cdot 16 + 9 (- 4) + 10$

解题步骤 2.1.2.1.3

将 $6$ 乘以 $16$ 。

$- 64 + 96 + 9 (- 4) + 10$

解题步骤 2.1.2.1.4

将 $9$ 乘以 $- 4$ 。

$- 64 + 96 - 36 + 10$

解题步骤 2.1.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将 $- 64$ 和 $96$ 相加。

$32 - 36 + 10$

解题步骤 2.1.2.2.2

从 $32$ 中减去 $36$ 。

$- 4 + 10$

解题步骤 2.1.2.2.3

将 $- 4$ 和 $10$ 相加。

$6$

解题步骤 2.2

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

${(0)}^{3} + 6 {(0)}^{2} + 9 (0) + 10$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 6 {(0)}^{2} + 9 (0) + 10$

解题步骤 2.2.2.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 6 \cdot 0 + 9 (0) + 10$

解题步骤 2.2.2.1.3

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 9 (0) + 10$

解题步骤 2.2.2.1.4

将 $9$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 + 10$

解题步骤 2.2.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 + 10$

解题步骤 2.2.2.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 10$

解题步骤 2.2.2.2.3

将 $0$ 和 $10$ 相加。

$10$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 4, 6), (0, 10)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(- 3, 10), (0, 10)$

最小绝对值： $(- 1, 6), (- 4, 6)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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