微积分学示例

$m (x) = \ln (x)$ , given $\frac{1}{10} \leq x \leq \frac{1}{5}$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f' (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 1.1.2

$m (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{1}{x}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$1 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $1 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\ln (x)$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = 0$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $0$ 替换 $x$ 。

$\ln (0)$

解题步骤 1.4.1.2

零的自然对数无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

代入 $\frac{1}{10}$ 替换 $x$ 。

$\ln (\frac{1}{10})$

解题步骤 2.2

代入 $\frac{1}{5}$ 替换 $x$ 。

$\ln (\frac{1}{5})$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10})), (\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $m (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $m (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $m (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(\frac{1}{5}, \ln (\frac{1}{5}))$

最小绝对值： $(\frac{1}{10}, \ln (\frac{1}{10}))$

解题步骤 4

微积分学 示例

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