微积分学示例

$f (x) = e^{x}$ ; $[- 1, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f' (x) = e^{x}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $e^{x}$ 。

$e^{x}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 1.2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 1.2.3

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 1.2.4

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 1$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 1$ 替换 $x$ 。

$e^{- 1}$

解题步骤 2.1.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{e}$

解题步骤 2.2

代入 $3$ 替换 $x$ 。

$e^{3}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 1, \frac{1}{e}), (3, e^{3})$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(3, e^{3})$

最小绝对值： $(- 1, \frac{1}{e})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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