微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2}$

解题步骤 1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2

将 ${(x^{2})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{2 \cdot - 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} x^{- 2} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 2$ 。

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.4

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.2.6

化简表达式。

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解题步骤 2.2.6.1

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.2.6.2

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.3

化简。

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解题步骤 2.3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 2.3.2

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 4

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 5

不存在局部极值

解题步骤 6

微积分学 示例

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