微积分学示例

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1.1.1

根据加法法则， $2 - | t - 2 |$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ 。

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

解题步骤 1.1.1.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

解题步骤 1.1.1.2

计算 $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- | t - 2 |$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ 。

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = | t |$ 且 $g (t) = t - 2$ 。

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解题步骤 1.1.1.2.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $t - 2$ 。

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

解题步骤 1.1.1.2.2.2

$| u |$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{u}{| u |}$ 。

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

解题步骤 1.1.1.2.2.3

使用 $t - 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

解题步骤 1.1.1.2.3

根据加法法则， $t - 2$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ 。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

解题步骤 1.1.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

解题步骤 1.1.1.2.5

因为 $- 2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

解题步骤 1.1.1.2.6

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ 乘以 $1$ 。

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

解题步骤 1.1.1.3

从 $0$ 中减去 $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ 。

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

解题步骤 1.1.2

$f (t)$ 对 $t$ 的一阶导数是 $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ 。

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$t - 2 = 0$

解题步骤 1.2.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$t = 2$

解题步骤 1.2.4

排除不能使 $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ 成立的解。

$无解$

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$| t - 2 | = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $t$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$t - 2 = \pm 0$

解题步骤 1.3.2.2

正负 $0$ 是 $0$ 。

$t - 2 = 0$

解题步骤 1.3.2.3

在等式两边都加上 $2$ 。

$t = 2$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $t$ 值，计算 $2 - | t - 2 |$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $t = 2$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $2$ 替换 $t$ 。

$2 - | (2) - 2 |$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1.2.1.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$2 - | 0 |$

解题步骤 1.4.1.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $0$ 之间的距离为 $0$ 。

$2 - 0$

解题步骤 1.4.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$2 + 0$

解题步骤 1.4.1.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

解题步骤 1.4.2

列出所有的点。

$(2, 2)$

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $t = - 8$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 8$ 替换 $t$ 。

$2 - | (- 8) - 2 |$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.1.1

从 $- 8$ 中减去 $2$ 。

$2 - | - 10 |$

解题步骤 2.1.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $- 10$ 和 $0$ 之间的距离为 $10$ 。

$2 - 1 \cdot 10$

解题步骤 2.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $10$ 。

$2 - 10$

解题步骤 2.1.2.2

从 $2$ 中减去 $10$ 。

$- 8$

解题步骤 2.2

在 $t = 3$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $3$ 替换 $t$ 。

$2 - | (3) - 2 |$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$2 - | 1 |$

解题步骤 2.2.2.1.2

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$2 - 1 \cdot 1$

解题步骤 2.2.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 1$

解题步骤 2.2.2.2

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$1$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 8, - 8), (3, 1)$

解题步骤 3

将每个 $t$ 的值对应所得的 $f (t)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (t)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (t)$ 时产生。

最大绝对值： $(2, 2)$

最小绝对值： $(- 8, - 8)$

解题步骤 4

微积分学 示例

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