微积分学示例

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x - 3$ 且 $g (x) = 4 + x$ 。

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2

求微分。

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解题步骤 1.1.1.2.1

根据加法法则， $x - 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ 。

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.1.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.4.2

将 $4 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.5

根据加法法则， $4 + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.6

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.7

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x]$ 相加。

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3

化简。

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解题步骤 1.1.1.3.1

运用分配律。

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1

合并 $4 + x - x - - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 1.1.1.3.2.1.1

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.1.2

将 $4$ 和 $0$ 相加。

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.2.3

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

解题步骤 1.1.1.3.3

重新排序项。

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.1.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ 。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 1.2.2

将分子设为等于零。

$7 = 0$

解题步骤 1.2.3

因为 $7 \neq 0$ ，所以没有解。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

将 $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 1.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.3.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.4

对每个导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，计算 $\frac{x - 3}{4 + x}$ 。

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解题步骤 1.4.1

在 $x = - 4$ 处计算

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解题步骤 1.4.1.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

解题步骤 1.4.1.2

化简。

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解题步骤 1.4.1.2.1

去掉圆括号。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

解题步骤 1.4.1.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

解题步骤 1.4.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 1.5

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 4$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 4$ 替换 $x$ 。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

去掉圆括号。

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

解题步骤 2.1.2.2

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

解题步骤 2.1.2.3

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

去掉圆括号。

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

解题步骤 2.2.2.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 2}{4 + 1}$

解题步骤 2.2.2.3

将 $4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2}{5}$

解题步骤 2.2.2.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{5}$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(1, - \frac{2}{5})$

解题步骤 3

因为 $x$ 没有使一阶导数等于 $0$ 的值，所以不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 4

将每个 $x$ 的值对应所得的 $f (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $f (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $f (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, - \frac{2}{5})$

没有绝对最小值

解题步骤 5

微积分学 示例

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