微积分学示例

$k (x) = 10^{x}$ , given $- 3 \leq x \leq 1$

解题步骤 1

求驻点。

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解题步骤 1.1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1.1

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $10$ 。

$f' (x) = 10^{x} \ln (10)$

解题步骤 1.1.2

$k (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $10^{x} \ln (10)$ 。

$10^{x} \ln (10)$

解题步骤 1.2

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $10^{x} \ln (10) = 0$ 。

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解题步骤 1.2.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$10^{x} \ln (10) = 0$

解题步骤 1.2.2

画出方程每一边的图像。其解即为交点的 x 值。

无解

解题步骤 1.3

求使导数无意义的值。

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解题步骤 1.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 1.4

原问题的定义域中没有使得导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 的值。

找不到驻点

解题步骤 2

计算闭区间端点处的值。

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解题步骤 2.1

在 $x = - 3$ 处计算

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解题步骤 2.1.1

代入 $- 3$ 替换 $x$ 。

$10^{- 3}$

解题步骤 2.1.2

化简。

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解题步骤 2.1.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$\frac{1}{10^{3}}$

解题步骤 2.1.2.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{1}{1000}$

解题步骤 2.2

在 $x = 1$ 处计算

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解题步骤 2.2.1

代入 $1$ 替换 $x$ 。

$10^{1}$

解题步骤 2.2.2

计算指数。

$10$

解题步骤 2.3

列出所有的点。

$(- 3, \frac{1}{1000}), (1, 10)$

解题步骤 3

将每个 $x$ 的值对应所得的 $k (x)$ 的值进行比较，以确定给定区间上的最大绝对值和最小绝对值。最大值在取最高值 $k (x)$ 时产生，而最小值在取最低值 $k (x)$ 时产生。

最大绝对值： $(1, 10)$

最小绝对值： $(- 3, \frac{1}{1000})$

解题步骤 4

微积分学 示例

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