微积分学示例

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

解题步骤 1

求一阶导数并计算 $x = - 1$ 和 $y = - \frac{3}{2}$ 的值，从而求切线的斜率。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- \frac{3}{2}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{3}{2} x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.4

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.6

组合 $\frac{- 6}{2}$ 和 $x$ 。

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.7.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7.2

约去公因数。

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解题步骤 1.2.7.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7.2.2

约去公因数。

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7.2.3

重写表达式。

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.2.7.2.4

用 $- 3 x$ 除以 $1$ 。

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [4 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 x$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.3.3

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 3 x + 4 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $- 3 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$- 3 x + 4$

解题步骤 1.5

计算在 $x = - 1$ 处的导数。

$- 3 \cdot - 1 + 4$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$3 + 4$

解题步骤 1.6.2

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$7$

解题步骤 2

将斜率及点值代入点斜式公式并求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

使用斜率 $7$ 和给定点 $(- 1, - \frac{3}{2})$ ，替换由斜率方程 $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ 产生的点斜式 $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ 中的 $x_{1}$ 和 $y_{1}$ 。

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

解题步骤 2.2

化简方程并保持点斜式。

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.3.1

化简 $7 \cdot (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

重写。

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

通过加上各个零进行化简。

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.3

运用分配律。

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

解题步骤 2.3.2

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 2.3.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{3}{2}$ 。

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.2.2

要将 $7$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.2.3

组合 $7$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

解题步骤 2.3.2.4

在公分母上合并分子。

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

解题步骤 2.3.2.5

化简分子。

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解题步骤 2.3.2.5.1

将 $7$ 乘以 $2$ 。

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

解题步骤 2.3.2.5.2

从 $14$ 中减去 $3$ 。

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

解题步骤 3

微积分学 示例

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